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一行(张遂) Yi Xing(683-727)

✓□ 数学家 ✓□ 天文学家 ✓□ 佛学家

籍贯 生 卒

河南南乐县 (唐) 683 年 (唐) 727 年

生平

(cid:136) 一行原名张遂，魏州昌乐(今河南、河北交界的南乐县)人，生于唐高宗李治弘道元年(683 年)，

卒于唐玄宗李隆基开元十五年(727 年)；

(cid:136) 张遂自幼聪敏好学，「博览经史，尤精历象，阴阳、五行之学」，年青时以学识渊博闻名，武 则天624年-705年侄儿武三思???-707年「慕其学行，就请与结交」，为了逃避，张遂不久就剃度为 僧，取名一行，隐居嵩山、天台山，学习佛典和天文学；直至武则天神龙元年卒，一行仍是隐 居；

(cid:136) 开元五年(717 年)，唐玄宗征召往长安，随侍左右；

(cid:136) 四年后，由于《麟德历》预报日食每见失误，唐玄宗诏一行编修新历；一行主张以实测为基

础，为此研造一批新仪器以助观测；

(cid:136) 724 年，一行发起天文大地测量，在全国十二个地点进行天文观测，得到相当于子午线一度之

长为351 里80 步，是世界上第一次的子午线实测；

(cid:136) 725 年，一行开始编写《大衍历》，于开元十五年(727 年)完成初稿；

(cid:136) 727 年，一行卒于过劳，年仅45 岁；

(cid:136) 《大衍历》最后经由张说667-731 年，唐玄宗宰相，擅长文学等人整理成书，于开元十七年公元729 年取代《麟德历》施行，于上元二年公元761年才被《五纪历》取代，前后共使用了33 年；《大 衍历》虽只使用了三十多年，惟其编写方法和格式，颇多后代的历法家仍采用；

成就、贡献

(cid:136) 与梁令瓒生于武则天载初元年(689年)，唐朝画家、天文仪器制造家等人合作，共同创制新型的测量仪器 「黄道游仪」和具有自动报时功能的「水运浑象」，并用这些新仪器测量二十八宿的距度和极 度，使精度提高，从而取代沿用近九百年由落下闳前156年-前87年，复姓落下，西汉天文学家所测的 数值，重新并更新多达150 余颗恒星的位置；

(cid:136) 一行推广了刘焯公元544-610的内插法，在编写《大衍历》时，使用不等间距的二次内插法；

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(cid:136) 组织大规模的大地测量；从北部的铁勒(今俄罗斯贝加尔湖一带)到南部林邑(今越南中部)13 个 地点，分别测量「北极出地高度」、二分春分、秋分二至夏至、冬至日影长度和二至昼夜漏刻数 值；

(cid:136) 由位于同一经线上的白马、浚仪、扶沟和上蔡四地所得数据，得到「大率三百五十一里八十步

而极差一度」，求出子午线一度的长度；

(cid:136) 提出在全国不同地点相对于标准点「阳城」计算出蚀差的方法，使用了类似有正切函数性质的

表格和含有三次差的近似内插法公式；

(cid:136) 对太阳周年运动的不均匀性有准确的描述「冬至时运动最快以地球为参考，夏至时最慢，中间渐

变，皖环往复」；精确测定冬至时太阳在恒星间的位置；

(cid:136) 创立了一系列近似的算法分别计算不同纬度二十四节气日影长度、昼夜漏刻长度和由月亮视差 引起的「食差」，打破传统制历只对某一定点作测算，使历法更能普遍地在全国各地适用；

(cid:136) 将对印度天文学的研究心得，撰写《七曜星辰别行法》、《梵天火罗九曜》、《北斗七星护摩

法》、《宿曜仪轨》等；

(cid:136) 著有佛教论述多种；

大地测量、子午线一度的长度

(cid:136) 北极和南极将地球上的大圆分成两个大圆弧(半圆)，这些半圆称为子午线(meridian)；

(cid:136) 《周髀算经》中有谓「周髀长八尺，句之损益，寸千里」，意即若八尺高的竿在日影中影长相 差一寸，南北相去一千里，现今当然知道这论述并不真确，惟长久以来并没有人经实测以纠正 这谬误；

(cid:136) 到南朝刘宋元嘉十九年公元442 年，有人在交州(今越南河内)测日影，所得结果与「寸千里」不

符，人们遂开始怀疑「寸千里」这说法；

(cid:136) 隋朝天文学家刘焯公元544-610于是主张进行实测，「请一水工，并解算术士(懂测量和数学的 人)，· · · 南北使正，审时以漏(用铜壶滴漏量度时间)，平地以绳，· · · 则天地无所匿其形，辰象 无所逃其数(日月星辰的数据无误)」;

(cid:136) 到607 年，隋炀帝下令各地测影，惜刘焯不久死去，各地测影一事便搁置下来；

(cid:136) 到唐开元十二年公元724 年，在一行的策划下，由南宫说实际执行，得出各地测影的结果因地 而异，又因河南浚仪、扶沟两地间地势平坦，其结果较好，得子午线每度长122.8 公里，与今 之40000 ÷ 360 = 111.11 公里，仅差11 ≈ 12 公里；

一些古代天文学词汇

《麟德历》

(cid:136) 《麟德历》的作者为唐代天文学家和数学家李淳风；

(cid:136) 李淳风生于隋仁寿二年公元602 年，卒于唐大历五年公元670 年；二十多岁时，已发现当时的历法有 疏误，后被选入太史局，继而奉诏制作新浑仪，并于贞观七年公元633 年完成，仪器制作精巧，成 为后世浑仪的蓝本，在我国天文仪器有重要的位置；显庆元年公元656 年奉诏与国子监算学博士梁 述等人注「算经十书」，李淳风在《周髀算经》的注释贡献最大；661-663 年，李淳风主持编修新 历，于麟德二年公元665 年颁行，称为《麟德历》；

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(待补)黄道、寸千里、二十八宿、距度和极度、二十四节、昼夜漏刻长度、食差、阳城

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不等间距的二次内插法

(cid:136) 在历法的编制中，作准确的日、月食预报，是重中之重，是畴人的主要任务，在日、月、五星的

天文计算，需要用上了大量观测数据；

(cid:136) 因为日月星辰的运动是连续的，而实测，只能获得有限、离散的数据，如t 为时间，y 为某星体的

所在位置(行度，如与某参考点的角差)，观测到以下的数据：

t y

t0 y0

t1 y1

t2 y2

· · · · · ·

tn yn

如要知道t1 与t2 间的某一日，星体的所在位置，便需要插值(interpolation)，插入一个值，这便得 用上「内插法」了；

(cid:136) 如果存在某函数y = f (x)，已知f (xi), (i = 1, 2, · · · , n) 的值，计算y = f (x) 在[x1, xn] 间一些点xk

的函数值的方法叫「内插法」；

(cid:136) 假若观测的时间t0、t1、t2、· · · 、tn 的间隔是相等的，即ti+1 − ti = 常数k，如k = 5，每5 日观测

一次，这时的内插法称为「等间距内插法」；

(cid:136) 假若观测的时间t0、t1、t2、· · · 、tn 的间隔是不固定的，这的内插法便称为「不等间距内插法」；

(cid:136) 公元206 年，东汉时期天文学家刘洪约130年—196年在制定《干象历》时，便用到了「一次内插

法」；

(cid:136) 「一次内插法」是假设t 和f (t) 具线性关系；若t 为日数，f (t)

f (t)

为月在t 日后的共行度数，刘洪用

f (t1 + s) = f (t1) + s

(cid:16)

f (t1 + 1) − f (t1)

(cid:17)

来算出t1 + s 日(0 < s < 1) 的月共行度数；

t1

t1 + s

t1 + 1

t

(cid:136) 「一次差内插法」相当于今日的等差级数计算，可由《九章算术》「盈不足」术导出，《周髀算

经》卷下已使用这方法计算由冬至到夏至间各节气如大寒、立春、清明等的影长圭表日影；

(cid:136) 于6 世纪中，北齐河内人张子信约公元526—528年「因避乱隐于海岛中，积三十许年，专以浑仪测候 日月五星差变之数，以算步之，始悟日月交道，有表里迟速，五星见伏，有感召向背。日行在春 分后则迟，秋分后则速」，发现太阳在黄道上的移动不是匀速的；

(cid:136) 就此，隋刘焯在他的《皇极历》以「等间距二次内插法」来定朔(确定每月的第一天)及计算两气

间「每日迟速数」等；

(cid:136) 若函数f (t) 在等距的「节点」ti = t0 + ih (h > 0) 上的值是f (ti)，「二次内插法」是假设t 与f (t)

有一个二次的关系f (t) = at2 + bt + c，f (t) 在ti 步长为h 的「一阶向前差分」是

△f (ti) = f (ti + h) − f (ti) = a(2hti + h2) + bh

其「二阶向前差分」△2f (ti) = △f (ti + h) − △f (ti) = 2ah2 为常数， 其「三阶向前差分」△3f (ti) = △2f (ti + h) − △2f (ti) = 0，

由「牛顿插值公式(Newton Interpolation Formula)」，

f (t0 + ih) ≈ f (t0) +

(cid:19)

(cid:18)i 1

△ f (t0) +

(cid:19)

(cid:18)i 2

△2 f (t0) +

(cid:19)

(cid:18)i 3

△3 f (t0) + · · ·

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因△3f (t0) = △4f (t0) = · · · = 0，f (t0 + ih) ≈ f (t0) +

(cid:19)

(cid:18)i 1

△ f (t0) +

(cid:19)

(cid:18)i 2

△2 f (t0)；

(cid:136) 若已知f (ℓ)、f (2ℓ)、· · · 、f (nℓ) 的值，刘焯求得f (nℓ + s) (0 < s < ℓ) 的值，其公式相当于

f (nℓ + s) = f (nℓ) +

s ℓ

×

△1 + △2 2

s ℓ

× (△1 − △2) −

s2 2ℓ2 × (△1 − △2)

其中△1 = f (nℓ + ℓ) − f (nℓ)，△2 = f (nℓ + 2ℓ) − f (nℓ + ℓ)，这公式与前述牛顿插值公式的结果等 价；

(cid:136) 当求太阳的视行度时，取ℓ 为两个节气的间隔(约15 日)，当求月亮的视行度时，取ℓ 为两日的间

隔(即1 日)；

(cid:136) 由此，刘焯得到相对精确的估算；

(cid:136) 话虽刘焯的估算尚精确，但实际上，每两个节气间的间隔并不是完全固定的，如2024 年，「小 寒」为1 月6 日04:49，「大寒」为1 月20 日22:07，相隔14 日17 小时18 分，而「惊蛰」为3 月5 日10:23，「春分」为3 月20 日11:06，相隔了15 日另43 分；故此，不等的间距使计算多了一个导 至误差的因素；

(cid:136) 张遂在他的《大衍历》中，改进了刘焯的公式，发明了「不等间距二次内插法」公式，相当于

f (a + s) = f (a) + s ×

△1 + △2 ℓ1 + ℓ2

• s ×

(cid:16) △1 ℓ1

−

(cid:17)

△2 ℓ2

−

s2 ℓ1 + ℓ2

×

(cid:16)△1 ℓ1

−

(cid:17)

△2 ℓ2

, (ℓ1 ̸= ℓ2)

(cid:136) 在《大衍历》中，张遂亦有使用到「三次差」，尤其是涉及到相当于今日的三角函数表；

《畴人传》中的一行

《畴人传》由清代阮元公元1764 - 1849 年所撰，共含四十六卷。是一部记述中国历代，从黄帝到清 嘉庆四年公元1799 年的天文学家和数学家生平事迹以及他们科研成就的传记集。全书录入中国科学 家270 人，更录入明末以来传入我国的书籍中提及的外国科学家41 人。 1898 年，黄钟骏生平不详撰《畴人传四编》十一卷。补充并收录有科学家400 余人，其中天文学 家、数学家约有200 人。 阮元需将一行分作三卷收录，在卷第十四、十五、十六内，是占《畴人传》篇幅最多的一人，在 这不再转录，有兴趣的朋友，可阅览《畴人传。一行》。

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