调日法分析

“调日法”分析

On The Method of Regulating the Day-ratio

石远东 Shi-YuangDong Email:[email protected]

目录

01 关于调日法的历史文献…………………………………………………… 1 02 何承天调日法……………………………………………………………… 7 03 李锐：日法朔馀强弱考（全面考察）…………………………………… 11 04 秦九韶调日法……………………………………………………………… 26 05 陈久金“加减调日法”分析……………………………………………… 40 06 连分数与调日法…………………………………………………………… 45 07 如何调日法？编制农历历法……………………………………………… 55

关于调日法的历史文献

关于调日法的历史文献

中国古代历法中的天文常数，几乎都用分数表示；它们通常是在实测数据的基础上，按

照预定的误差控制计算出来的。这种计算方法叫“调日法”。

何承天“调日法”就是根据实测数据选择适当的数值作为日法的一种算法，其本质就是

一种实数的有理逼近算法，我们称之为“何承天调日法”。

那么，中国古代数学家是如何进行“调日法”的？我们分析如下：

一、历史文献简介

关于“调日法”，相关的历史文献很少，均出自宋代人的著述，而且十分简略，先简单

罗列几条如下，详细内容见后面的附录：

《宋史·志第二十七·律历七》 调日法、朔余、周天分、斗分、岁差、日度母

附：造历之法，必先立元，元正然后定日法，法定然后度周天，以定分、至，三者有程，

则历可成矣。日者，积余成之；度者，积分成之。盖日月始离，初行生分，积分成日。自《四 分历》洎古之六历，皆以 940 为日法。率由日行一度，经 365 日 1/4，是为周天；月行 13 度 7/19，经 29 日有余，与日相会，是为朔策。史官当会集日月之行，以求合朔。

自汉太初至于今，冬至差十日，如刘歆《三统》复强于古，故先儒谓之最疏。后汉刘洪 考验《四分》，于天不合，乃减朔余，苟合时用。自是已降，率意加减，以造日法。宋世何 承天更以 26/49 为强率，9/17 为弱率，于强、弱之际以求日法。承天日法 752，得 15 强，1 弱。自后治历者，莫不因承天法，累强、弱之数，皆不悟日月有自然合会之数。

《宋史·志第二十九·律历九》

自《元嘉历》后所立日法，以 26/49 为强率、以 9/17 为弱率，并强弱之数为日法、朔余， 自后诸历效之。殊不知日、月会合为朔，并朔余、虚分为日法，盖自然之理。其气节加时， 晋、汉以来约而要取，有差半日，今立法推求，得尽其数。后之造历者，莫不遵用焉。其疏 谬之甚者，即苗守信之《乾元历》、马重绩之《调元历》、郭绍之《五纪历》也。大概无出于 此矣。

《建炎以来朝野杂记·卷五·乙集》

宋何承天考正日晷，知南至之端。又用强弱率以配日立法，以求朔策之余分，乃合简易 之要。太祖皇帝建隆二年，始命王处讷造“应天历”。处讷乃用 10002 分为日法（盖用万分 增二），得强率 201，得弱率 9；以 26 乘强率，以 9 乘弱率，并二者，得 5307，为朔策之余 分，则强弱适中合简易之要，自然无秒。

这些文献都只有概括性的描述，至于给出“调日法”具体做法的，则是下面两则： [宋]秦九韶《数书九章》“治历演纪”题； [清]李锐《日法朔馀强弱考》； 它们都提供了“调日法”求解的具体过程。我们首先读一读这两个做法：

二、“调日法”与强数，弱数

“秦九韶求强弱公式”： 《数术大略》“治历演纪”题术曰：以历法求之，大衍入之。 调日法，如何承天术，用强弱母子互乘，得数，并之，为朔余。

强率子 强率母 弱率子

17 49 100＝49＋3×17 9

• 1 -

“调日法”分析-石远东

26

弱率母 分母变形 调整 507 调整分母 分子

16900＝169×100＝169×(1×49＋3×17)＝169×49＋507×17 507＝10×49＋17 16900＝(169＋10×17)×49＋17×17 (169＋10×17)×26＋17×9＝8967

这并没有解决问题——因为这不是“何承天调日法”。换言之，秦九韶在《数术大略》 “治历演纪”题中，并没有用到“何承天调日法”，而是根据假定的日法 l6900 去求强数， 弱数，然后求出朔余；这首先需要知道 16900 才能进行，其主要工作是在求强数和弱数，因 此，我们称之为“秦九韶求强弱公式”。

我们认为：秦九韶也没有理解“何承天调日法”，给出的算法依然不是“何承天调日法”

——因为秦九韶把需要用调日法才能得到的日法 l6900 当作已知条件看待了。

“李锐调日法”： 是李锐在《日法朔馀强弱考》中首先提出的： 术曰：视当时测定朔余[置其术，朔余以万万乘之，如其术日法而一，所得即其术当时

测定朔余也]，在强率约余以下，弱率约余以上者[若在强率约余以上，即不可算]；

列强母于右上，强子于右次，一强于右副，下空； 又列弱母于左上，弱子于左次，左副空；一弱于左下； 并左右两行，得中行，以中上退除中次，为约余，约余多于测定数，即弃去右行； 以中行为右行，仍前左行约余少于测定数，即弃去左行，以中行为左行； 仍前右行，依前累求约余，与当时测定数合，中上即日法，中次即朔余，中副即强数，

中下即弱数也。

左行 中行 右行 上 弱母 左＋右 强母 日法 次 弱子 左＋右 强子 朔余 副 0 强数 左＋右 1 弱数 左＋右 0 下 1

但是，“李锐调日法”运算步骤冗长不堪，致使更多的例外杂入，以至于“十一家日法， 凡合者三十五家，不合者十六家。”换言之，“李锐调日法”的算法与“何承天调日法”不同， 仍然不是“何承天调日法”。

为减少冗长的运算步骤，李锐提出了改进方案，亦即： “李锐求强弱公式”： 术曰：置日法，以强母去之，余以 26×17＝442[此数以弱母去之，适尽。以强母去之， 余一]乘之，满 49×17＝833[此数以强、弱二母去之，皆尽。]去之，余为弱实；以弱母除之， 得弱数，以弱实转减日法，余为强实；以强母除之，得强数。

强母 49 强子 26 弱母 17 弱子 9 日法 日余＝mod(日法,强母) 弱实 弱实＝mod(强子×弱母×日余,强母×弱母) 弱数 弱数＝弱实÷弱母 上 上＝弱子×弱数 强实 强实＝日法－弱实＝日法－弱数×弱母

• 2 -

关于调日法的历史文献

强数 强数＝强实÷强母 朔余 朔余＝强子×强数＋弱子×弱数

可以适当精简为：

强母 49 强子 26 弱母 17 弱子 9 日寄 1457＝49×29＋36 弱数 26×36＝49×19＋5 强数 朔余 26×28＋9×5＝773

[有日法，求强弱] 强母 强子 弱母 弱子 日寄＝mod(日法,强母) 弱数＝mod(强子×日寄,强母)

(1457－17×5)÷49＝28 强数＝(日法－弱数×弱母)÷强母

朔余＝强子×强数＋弱子×弱数

这里的“求强弱”计算公式可表示成： 弱数＝mod(强子×mod(日法,强母),强母)； 强数＝(日法－弱数×弱母)÷强母； 朔余＝强子×强数＋弱子×弱数； 此公式意在根据日法求朔余，使得“弱子/弱母<朔余/日法<强子/强母”成立。 也可以进一步得到“根据朔余求日法”的计算公式：

[有朔余，求强弱] 强母 强子 弱母 弱子 朔寄＝mod(朔余,强子)

强母 49 强子 26 弱母 17 弱子 9 朔寄 773＝26×29＋19 弱寄 49×19＝931＝26×35＋21 弱寄＝mod (强母×朔寄,强子) 弱数 26－21＝5 强数 (773－9×5)÷26＝28 日法 49×28＋17×5＝1457

弱数＝强子－弱寄 强数＝(朔余－弱子×弱数)÷强子 日法＝强母×强数＋弱母×弱数

这里的“求强弱”计算公式可表示成： 弱数＝强子－mod(强母×mod(朔余,强子),强子)； 强数＝(朔余－弱数×弱子)÷强子； 日法＝强母×强数＋弱母×弱数； 此公式意在根据朔余求日法，使得“弱子/弱母<朔余/日法<强子/强母”成立。 不过，上述公式成立的前提条件是：强子×弱母－弱子×强母＝1；否则，不能使用。

显然，这与“秦九韶求强弱公式”形式上相异，本质上相同。换言之，李锐也没有理解

“何承天调日法”，给出的算法仍然不是“何承天调日法”。

不过，“李锐调日法”的出发点与“何承天调日法”基本上是吻合的，亦即：以实测数 据为基础来确定日法和朔余，并根据实测数据来判定所得分数是否符合要求的日法和朔余。 与秦九韶相比，这是一大进步。

我们选择曲安京在《中国历法与数学》（科学出版社，2005 年第一版）181～182 页的说

三、现代观点

法：

现代天算史家普遍据此认为，调日法作为一种治历的算法，为何承天所创。但是，何承

• 3 -

“调日法”分析-石远东

天调日法究竟如何“调”呢？这仍然是一个有争议的问题。目前业已发表的主张，大体如以 下三类：

第一，支持秦九韶说。秦九韶在《数书九章》治历演纪题之术文的一开始写道： 调日法，如何承天术，用强弱母于互乘得数，并之为朔余。 秦氏调日法说的主要思想是．已知日法 A，求解不定方程 A=49m+17n，调取得强弱二 数 m 与 n，再与强弱二率（26/49 与 9/17)之分子互乘，得朔余 26m＋9n，由此确定历取朔望 月常数。严敦杰认为：

按秦法与累强弱之数的“累”义不舍，当不是调日法本法。

基本上否定此说。李继闵近年来撰著鸿文多篇，依算理分析、数据考证、探源索流，从多方 面论证和宣扬秦氏调日法的合理性与实用性，反驳批评者的否定性论点。

第二，支持李锐说。清代学者李锐曾对历史上数十部历法的日法朔余推演考证，遂悟得 一法，认为调日法的真谛在于“累强弱之数，得中平之率”，并且撰著成文，颇受世人推崇。 李锐调日法说的主要思想是：反复利用加成法则，通过与实测值的逐次比较，不断累加强数 m 与弱数 n，使所得中平之率(26m+9n)/( 49m+17n)的精度斗达到一定的标准为止。

李锐之说曾获顾观光的补充与宣扬，李潢（“复李锐书”，见文献[11]）、严敦杰（见文 献[9]）、刘钝等人皆对李锐的调日法说持认同态度，认为“李锐的考证说明了调日法的本法”， “大致反映了吉代调日法的原貌。”

第三，陈久金认为，调日法作为一种治历的算法，是手段而不是目的。因此，历家据此 选择日法朔余时，未必拘泥于强弱二率，不一定非要像李锐所说的那样逐次逼近。陈久金给

出的算法是：历家通常可以选择前任历法中的某两个日法朔余为强弱二率，根据加成法则， 即可直接调取新历的数据。

以上观点我们在后面再详细分析。

四、附录 《宋史·志第二十七·律历七》 ○明天历

《崇天历》行之至于嘉祐之末，英宗即位，命殿中丞、判司天监周琮及司天冬官正王炳、

丞王栋、主簿周应祥、周安世、马杰、灵台郎杨得言作新历，三年而成。琮言：“旧历气节 加时，后天半日；五星之行差半次；日食之候差十刻。”既而司天中官正舒易简与监生石道、 李遘更陈家学。于是诏翰林学士范镇、诸王府侍讲孙思恭、国子监直讲刘分攵考定是非，上

推《尚书》“辰弗集于房”与《春秋》之日食，参今历之所候，而易简、道、遘等所学疏阔， 不可用，新书为密。遂赐名《明天历》诏翰林学士王珪序之，而琮亦为义略冠其首。今纪其 历法于后：

调日法朔余、周天分、斗分、岁差、日度母

附：造历之法，必先立元，元正然后定日法，法定然后度周天，以定分、至，三者有程，

则历可成矣。日者，积余成之；度者，积分成之。盖日月始离，初行生分，积分成日。自《四 分历》洎古之六历，皆以九百四十为日法。率由日行一度，经三百六十五日四分之一，是为 周天；月行十三度十九分之七，经二十九日有余，与日相会，是为朔策。史官当会集日月之 行，以求合朔。

自汉太初至于今，冬至差十日，如刘歆《三统》复强于古，故先儒谓之最疏。后汉刘洪

考验《四分》，于天不合，乃减朔余，苟合时用。自是已降，率意加减，以造日法。宋世何 承天更以四十九分之二十六为强率，十七分之九为弱率，于强弱之际以求日法。承天日法七 百五十二，得一十五强一弱。自后治历者，莫不因承天法、累强弱之数，皆不悟日月有自然 合会之数。

今稍悟其失，定新历以三万九千为日法，六百二十四万为度母，九千五百为斗分，二万

• 4 -

关于调日法的历史文献

六百九十三为朔余，可以上稽于古，下验于今，反覆推求，若应绳准。又以二百三十万一千 为月行之余，月行十三度之余。

以一百六十万四百四十七为日行之余。日行周天之余。 乃会日月之行，以盈不足平之，并盈不足，是为一朔之法。日法也，名元法。 今乃以大月乘不足之数，以小月乘盈行之分，平而并之，是为一朔之实。周天分也。 以法约实，得日月相会之数，皆以等数约之，悉得今有之数。盈为朔虚，不足为朔余。 又二法相乘为本母，各母互乘，以减周天，余则岁差生焉，亦以等数约之，即得岁差、 度母、周天实用之数。此之一法，理极幽眇，所谓反覆相求，潜遁相通，数有冥符，法有偶 会，古历家皆所未达。以等数约之，得三万九千为元法，九千五百为斗分，二万六百九十三

为朔余，六百二十四万为日度母，二十二亿七千九百二十万四百四十七为周天分，八万四百 四十七为岁差。

《宋史·志第二十九·律历九》

琮又论历曰：“古今之历，必有术过于前人，而可以为万世之法者，乃为胜也。若一行 为《大衍历》，议及略例，校正历世，以求历法强弱，为历家体要，得中平之数。刘焯悟日 行有盈缩之差。旧历推日行平行一度，至此方悟日行有盈缩，冬至前后定日八十八日八十九 分，夏至前后定日九十三日七十四分，冬至前后日行一度有余，夏至前后日行不及一度。 李淳风悟定朔之法，并气朔、闰余，皆同一术。旧历定朔平注一大一小，至此以日行盈 缩、月行迟疾加减朔余，余为定朔、望加时，以定大小，不过三数。自此后日食在朔，月食 在望，更无晦、二之差。旧历皆须用章岁、章月之数，使闰余有差，淳风造《麟德历》，以 气朔、闰余同归一母。

张子信悟月行有交道表里，五星有入气加减。北齐学士张子信因葛荣乱，隐居海岛三十 余年，专以圆仪揆测天道，始悟月行有交道表里，在表为外道阳历，在里为内道阴历。月行 在内道，则日有食之，月行在外道则无食。若月外之人北户向日之地，则反观有食。又旧历 五星率无盈缩，至是始悟五星皆有盈缩、加减之数。

宋何承天始悟测景以定气序。景极长，冬至；景极短，夏至。始立八尺之表，连测十余

年，即知旧《景初历》冬至常迟天三日。乃造《元嘉历》，冬至加时比旧退减三日。

晋姜岌始悟以月食所冲之宿，为日所在之度。日所在不知宿度，至此以月食之宿所冲，

为日所在宿度。

后汉刘洪作《乾象历》，始悟月行有迟疾数。旧历，月平行十三度十九分度之七，至是 始悟月行有迟疾之差，极迟则日行十二度强，极疾则日行十四度太，其迟疾极差五度有余。 宋祖冲之始悟岁差。《书·尧典》曰：“日短星昴，以正仲冬；宵中星虚，以殷仲秋。” 至今三千余年，中星所差三十余度，则知每岁有渐差之数，造《大明历》率四十五年九月而 退差一度。

唐徐升作《宣明历》，悟日食有气、刻差数。旧历推日食皆平求食分，多不允合，至是

推日食，以气刻差数增损之，测日食分数，稍近天验。

《明天历》悟日月会合为朔，所立日法，积年有自然之数，及立法推求晷景，知气节加 时所在。自《元嘉历》后所立日法，以四十九分之二十六为强率、以十七分之九为弱率，并 强弱之数为日法、朔余，自后诸历效之。殊不知日月会合为朔，并朔余虚分为日法，盖自然 之理。其气节加时，晋、汉以来约而要取，有差半日，今立法推求，得尽其数。

后之造历者，莫不遵用焉。其疏谬之甚者，即苗守信之《乾元历》、马重绩之《调元历》、

郭绍之《五纪历》也。大概无出于此矣。然造历者，皆须会日月之行，以为晦朔之数，验《春 秋》日食，以明强弱。其于气序，则取验于《传》之南至。其日行盈缩、月行迟疾、五星加 减、二曜食差、日宿月离、中星晷景、立数立法，悉本之于前语。然后较验，上自夏仲康五 年九月“辰弗集于房”，以至于今，其星辰气朔、日月交食等，使三千年间若应准绳。而有

• 5 -

“调日法”分析-石远东

前有后、有亲有疏者，即为中平之数，乃可施于后世。其较验则依一行、孙思恭，取数多而 不以少，得为亲密。较日月交食，若一分二刻以下为亲，二分四刻以下为近，三分五刻以上 为远。以历注有食而天验无食，或天验有食而历注无食者为失。其较星度，则以差天二度以 下为亲，三度以下为近，四度以上为远；其较晷景尺寸，以二分以下为亲，三分以下为近， 四分以上为远。若较古而得数多，又近于今，兼立法、立数，得其理而通于本者为最也。” 琮自谓善历，尝曰：“世之知历者甚少，近世独孙思恭为妙。”而思恭又尝推刘羲叟为知历焉。 《建炎以来朝野杂记·卷五·乙集》

宋何承天考正日晷，知南至之端。又用强弱率以配日立法，以求朔策之余分，乃合简易 之要。北齐张子正以圜仪揆天测，知五星有入气、盈缩之差；傅仁均以合朔定月之大小，不

过连三，则日月之食常在朔朢；李淳风谓前历日分度数参差不齐，立演撰法使一术以齐之； 一行立九服晷漏之术，随所在而求合焉；徐升创气刻二差定日之分。稍验各成一家法，后代 述之者，互有损益，渐加精密；自五代之“调元”，次及“钦天”，而历法始弊；调元作于马 重绩施于晋代其法，则不复推古上元冬至，七曜之会而起。唐天宝十四载乙未为上元，用正 月雨水为气首，盖仿曹士蒍小历之旧，失之矣。“钦天”作于王朴，施于周世宗时，而朴昧 乎前人 易之要求之不合，遂于朔分之下横立小分，而谓之秒说者，谓“前代诸历朔余未有 秒者，若朔余可以用秒，则可随意而加减，何待求日法以齐朔分也”。是时民间又有所谓“万 分历”者，明历之士往往鄙之。太祖皇帝建隆二年，始命王处讷造“应天历”。处讷乃用一 万二分为日法（盖用万分增二），得强率二百有一，得弱率九；以二十六乘强率，以九乘弱 率，并二者，得五千三百七，为朔策之余分，则强弱适中合简易之要，自然无秒。

• 6 -

何承天调日法

何承天调日法

何承天是如何调日法的？我们分析如下： [汉]刘歆“三统历”曰： 闰法十九，因为章岁。合天地终数，得闰法。19 会数四十七。叁天九，两地十，得会数。3×9＋2×10＝47 章月二百三十五。五位乘会数，得章月。19×12＋7＝235＝5×47 月周二百五十四。以章月加闰法，得月周。235+19=254

按照“三统历”约定：闰法十九，章月二百三十五。 因此，闰月周期（简称：闰周）为 235/19； 有了以上数据，即可编制历法了。 何承天默认“三统历”的“会数四十七”和“十九年七闰”作为基本参数；

何承天为什么会选择 16×47＝752 作为日法？我们来看以下数据：

n 日法 49A＋17B＝47 n 9

423

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

470

517

564

611

658

705

752

799

846

893

940

987

1034

1081

1128

1175

1222

(强数 A,弱数 B) 朔余 26A＋9B

{1,22}

{3,19}

{5,16},

{7,13}

{9,10}

{11,7}

{13,4}

{15,1} {17,－2} {2,44}

{4,41}

{6,38}

{8,35}

{10,32}

{12,29}

{14,26}

{16,23}

{1,69}

224

249

274

299

324

349

374

399

424

448

473

498

523

548

573

598

623

647

近似值 0.5295508274

0.5297872340

0.5299806576

0.5301418440

0.5302782324

0.5303951368

0.5304964539

0.5305851064

0.5306633292

0.5295508274

0.5296752520

0.5297872340

0.5298885512

0.5299806576

0.5300647549

0.5301418440

0.5302127660

0.5294599018

其中 A，B 是不定方程 49A＋17B＝47 n 的解，要提前解出来，结果如下： {423,A=1,B=22},{470,A=3,B=19},{517,A=5,B=16}, {564,A=7,B=13},{611,A=9,B=10},{658,A=11,B=7}, {705,A=13,B=4},{752,A=15,B=1},{799,A=17,B=-2}, {846,A=2,B=44},{893,A=4,B=41},{940,A=6,B=38}, {987,A=8,B=35},{1034,A=10,B=32},{1081,A=12,B=29}, {1128,A=14,B=26},{1175,A=16,B=23},{1222,A=1,B=69}

• 7 -

“调日法”分析-石远东

在何承天之前，已知的历法如下：

日法 朔余

约余

81

940

1457

历法 [汉]刘歆“三统术” [后汉]“四分术” 刘洪“乾象术” [魏]韩诩“黄初术” 杨伟“景初术” [晋]刘智“正术” 姜岌“三纪甲子元术” 6063 赵[匪攵]“玄始术” [宋]何承天“元嘉术”

12079

4559

752

43 0.530864197530864

499 0.530851063829787

773 0.530542210020590

6409 0.530590280652372

2419 0.530598815529721

35250 18703 0.530581560283688

3217 0.530595414811150

89052 47251 0.530600098818668

399 0.530585106382979

根据这些数据，显然是取 16×47＝752 作为日法最为合理。 至于 17×47＝799，则是由于 49×17－2×17＝799 中出现了负数，自然就不能考虑了。 现代实测的精确值为 0.530590277777777，显然，仍然是 752 为最佳选择。 所谓何承天调日法，实际上是预先设定一个日法数值（根据“会数四十七”来选择），

然后用逐个验证的办法来确定强数，弱数，从而确定朔望月；

因此，何承天以 47×16＝752 为日法，再对 49×A＋17×B 进行验证，确认： 当 A＝15，B＝1 时，49×A＋17×B＝752，从而得到 26×A＋9×B＝399； 亦即朔望月为 29＋(399/752)日； 至于回归年(365＋岁余)，则有固定的计算公式。 (29＋朔余)×(12＋闰周)＝(365＋岁余)； (365＋岁余)÷(29＋朔余)＝(12＋闰周)； 朔余，岁余，闰周之中知道任意两个即可推出第三个。 因为：回归年＝朔望月×闰周，即： (29＋399/752)×(235/19)＝111035/304＝365＋75/304； 实测应该是选择朔余，闰周比较靠谱，时间比较短，容易实现。 岁余则需要若干个回归年的实测，相对困难一些。 实测若选择朔望月，则交食（月食）周期亦可同时考虑。 何承天方法属于非常特殊的情形，难以作为通用方法加以推广。

关于弱率 9/17，强率 26/49 的来由： [刘宋]何承天之元嘉历所测定的朔余为 0.530585，即日月合宿为 29.530585 日。 为方便计，考察 0.53 即可。何承天在 53/100 附近调整分子，分母，得到： 强率：(53－1)/(100－2)＝52/98＝26/49； 弱率：(53＋1)/(100＋2)＝54/102＝9/17； 1 2

n m 所以，(53＋1)/(100＋2)< 53/100< (53－1)/(100－2)； 得到 9/17＝54/102< 53/100<52/98＝26/49； 在两位数以内，这是比较容易找到的数据。 更重要的是：26/49－9/17＝1/(49×17)＝1/833；这一性质保证了后续运算的简洁性与正

因为，当 2< m <2 n 时，

n m

n m

1 2

，

<

<

确性。

何承天根据实测数据判断：朔望月介于 29＋(9/17)日至 29＋(26/49)日之间，于是确定弱

率 9/17，强率 26/49；

• 8 -

何承天调日法

如果认为这样的解释属于牵强附会，则可从缀术（连分数）去考虑： 何承天实测得到的数据应该是： 朔望月：29＋约余 530585，回归年：365＋岁余 24671； 利用缀术可得到对应的分数近似值： 朔望月约余 530585/1000000： {0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,373/703,399/752,6358/11983,6757/12735,19872/37453,106117/200

000}

再比较 530585A/10000000 当 A＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 时的分数近似值，可

取无变化的最大的分数值 399/752 作为朔望月约余的最佳分数近似值；

{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,373/703,399/752,6358/11983,6757/12735,19872/37453,106117/200

000}

{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,373/703,399/752,110497/208255,994872/1875047,1105369/208330

2,2100241/3958349,5305851/10000000}

{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,399/752,7208/13585,7607/14337,37636/70933,45243/85270,12812

2/241473,1326463/2500000}

{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,399/752,3617/6817,51037/96190,54654/103007,160345/302204,37

5344/707415,911033/1717034,2197410/4141483,5305853/10000000}

{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,399/752,2021/3809,2420/4561,55261/104151,112942/212863,2652

927/5000000}

{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,399/752,1622/3057,3643/6866,8908/16789,12551/23655,209724/39

5269,1061171/2000000}

{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,399/752,1223/2305,1622/3057,2845/5362,41452/78125} {0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,399/752,824/1553,1223/2305,13054/24603,14277/26908,27331/515

11,68939/129930,509904/961021,1598651/3012993,5305857/10000000}

{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,399/752,824/1553,2047/3858,31529/59423,65105/122704,161739/3

04831,2652929/5000000}

{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,399/752,824/1553,5343/10070,38225/72043,81793/154156,126512

0/2384383,1346913/2538539,5305859/10000000}

回归年岁余 24671/1000000： {0,1/4,18/73,19/77,56/227,75/304,1481/6003,1556/6307,7705/31231,24671/100000}} 再比较 24671A/10000000 当 A＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 时的分数近似值，可

取无变化的最大的分数值 75/304＝150/608 作为朔望月约余的最佳分数近似值；

{0,1/4,18/73,19/77,56/227,75/304,1481/6003,1556/6307,7705/31231,24671/100000} {0,1/4,18/73,19/77,75/304,1669/6765,1744/7069,3413/13834,8570/34737,29123/118045,376

93/152782,104509/423609,246711/1000000}

{0,1/4,18/73,19/77,75/304,544/2205,6059/24559,30839/125000} {0,1/4,18/73,19/77,75/304,319/1293,2627/10648,8200/33237,10827/43885,40681/164892,51

508/208777,246713/1000000}

{0,1/4,18/73,19/77,75/304,169/685,244/989,1633/6619,6776/27465,21961/89014,50698/205

493,123357/500000}

{0,1/4,18/73,19/77,75/304,169/685,1089/4414,24127/97793,49343/200000} {0,1/4,18/73,19/77,75/304,94/381,169/685,432/1751,601/2436,1033/4187,1634/6623,2667/1

• 9 -

“调日法”分析-石远东

0810,4301/17433,6968/28243,18237/73919,61679/250000}

{0,1/4,18/73,19/77,75/304,94/381,263/1066,620/2513,883/3579,1503/6092,5392/21855,6895

/27947,246717/1000000}

{0,1/4,18/73,19/77,75/304,94/381,545/2209,3909/15844,27908/113117,31817/128961,12335

9/500000}

{0,1/4,18/73,19/77,75/304,94/381,4023/16306,16186/65605,36395/147516,52581/213121,24

6719/1000000}

• 10 -

李锐：日法朔馀强弱考

日法朔余强弱考

[清]李锐 序

何承天“调日法”以四十九分之二十六为强率，十七分之九为弱率，累强弱之数得中平 之率，以为日法，朔余。唐宋演撰家皆墨守其法，无敢失坠。元、明以来，畴人子弟罔识古 义，竟无知其说者。

今年春，读宋史志，忽有启悟，爰列《开元占经》，《授时术议》所载五十一家日法，朔

余之数一一考其强弱，凡合者三十五家，不合者十六家。反复推演，验知不合之故，盖有三 端：

其一，朔余强于朔率。如杨忠辅“统天术”，朔余6368，约余 53066666；鲍澣之讥其“无

复强弱之法”者，是也；

【编者注：6368/12000－26/49＝1/18375，与 9/17<6368/12000<26/49 矛盾，故此术于率 不合。但是，若用“求强弱公式”计算结果：朔余 6367，239 强，17 弱；符合要求。类似 问题：[汉]刘歆“三统术”，[后汉]“四分术”，赵[匪攵]“元始术”。吴昭素“乾元术”亦可 入此类。】

其一，朔余之下增立秒数。如刘孝荣“乾道术”，朔余15917 秒 76，裴伯寿诋为“不入

术格”者是也；

【编者注：虽然是“增立秒数”，其结果却符合要求，应该无伤大雅，可以放大适当倍 数后实现转化。类似问题：南宫说“神龙术”，[后周]王朴“钦天术”，刘孝荣“淳熙术”。】 其一，日法积分太多，朔余虽在强弱之间，亦为于率不合。如[晋]刘智“正术”，日法 35250，命为 701 强，53 弱，则朔余正得 18703；若命为 718 强，4 弱，则朔余为 18704，较 多一分；

【编者注：“李锐调日法”与“求强弱公式”计算结果不相同。类似问题：[后汉]“四 分术”，[後魏]张龙详“正光术”，[东魏]李业兴“兴和术”，[北齐]宋景业“天保术”，[周]甄 鸾“天和术”， 马显“丙演元术”，[隋]张宾“开皇术”。】

玉海载至道元年王睿献新术言“于二万以下修撰法”者是也； 次为一卷，以质当世明算君子，或亦步天者求故之一助也；

嘉庆四年（1799 年）五月十八日

何承天“强弱率” 强母 49，强子 26[以万万平之，得约余 53061224]； 弱母 17，弱子 9[以万万平之，得约余 52941176]； （01）[汉]刘歆（xīn）“三统术” 日法 81；朔余 43[约余 53086419]；右术于率不合； 【编者注：43/81－26/49＝1/3969，与 9/17<43/81<26/49 矛盾； “李锐调日法”运算： 1 次：日法 66；朔余 35；1 强，1 弱； 2 次：日法 115；朔余 61；2 强，1 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算结果：朔余 42，－15 强，48 弱；】 （02）[后汉]“四分术” 日法 940；朔余 499[约余 53085106]；右术于率不合； 【编者注：499/940－26/49＝11/46060，与 9/17<43/81<26/49 矛盾。 “李锐调日法”运算： 18 次：日法 899；朔余 477；18 强，1 弱；

• 11 -

 “调日法”分析-石远东

19 次；日法 948；朔余 503；19 强，1 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算结果：朔余 498，6 强，38 弱；】 （03）刘洪“乾象术” 日法 1457；朔余 773[约余 53054221]；右术 28 强，5 弱； 【编者注：刘洪“乾象历”第一次引入月亮视运动的不均匀性。 “李锐调日法”运算次数：9；】

调日法

术曰：视当时测定朔余[置其术，朔余以万万乘之，如其术日法而一，所得即其术当时

测定朔余也]，在强率约余以下，弱率约余以上者[若在强率约余以上，即不可算]；

列强母于右上，强子于右次，一强于右副，下空； 又列弱母于左上，弱子于左次，左副空；一弱于左下； 并左右两行，得中行，以中上退除中次，为约余，约余多于测定数，即弃去右行； 以中行为右行，仍前左行约余少于测定数，即弃去左行，以中行为左行； 仍前右行，依前累求约余，与当时测定数合，中上即日法，中次即朔余，中副即强数，

中下即弱数也。

左行 中行 右行 上 弱母 左＋右 强母 日法 次 弱子 左＋右 强子 朔余 强数 左＋右 1 副 0 弱数 左＋右 0 下 1

草曰：置朔余 773，以 100000000 乘之，得 77300000000；以日法 1457 除之，得 53054221，

即乾象术当时测定朔余也[在强率约余以下，弱率约余以上]。 77300000000

朔余 日法 当时测定朔余 773÷1457＝0.5305422100

1457

列强母 49 于右上，强子 26 于右次，1 强于右副，下空； 又列弱母 17 于左上，弱子 9 于左次，左副空；1 弱于左下； 并左右两行，得中上 66，中次 35，中副 1，中下 1；

49

左行 中行 右行 上 17 66 次 9 副 0 下 1

26

35

0

1

1

1

日法 35÷66＝0.5303030303 朔余 强数 弱数

以中上 66，退除中次 35，得约余 5303303，少于测定数，即弃去左行，以中行为左行；仍 前右行，并左右两行，得中上 115，中次 61，中副 2，中下 1；

49

115

左行 中行 右行 上 66 次 35 副 1 下 1

61

26

1

0

1

2

日法 61÷115＝0.5304347826 朔余 强数 弱数

以中上 115，退除中次 61，得约余 53043478，少于测定数，又弃去左行，以中行为左行； 仍前右行，并左右两行，得中上 164，中次 87，中副 3，中下 1；

左行 中行 右行

• 12 -

李锐：日法朔馀强弱考

上 115 次 61 副 2 下 1

164

87

3

1

49

26

1

0

日法 87÷164＝0.5304878048 朔余 强数 弱数

以中上 164，退除中次 87，得约余 53048780，少于测定数，又弃去左行，以中行为左行； 仍前右行，并左右两行，得中上 164，中次 87，中副 4，中下 1；

49

213

左行 中行 右行 上 164 次 87 副 3 下 1

113

26

1

4

0

1

日法 113÷213＝0.5305164319 朔余 强数 弱数

以中上 213，退除中次 113，得约余 53051643，少于测定数，又弃去左行，以中行为左行； 仍前右行，并左右两行，得中上 262，中次 139，中副 5，中下 1；

49

262

左行 中行 右行 上 213 次 113 副 4 下 1

139

26

5

1

1

0

日法 139÷262＝0.5305343511 朔余 强数 弱数

以中上 262，退除中次 139，得约余 53053435，少于测定数，又弃去左行，以中行为左行； 仍前右行，并左右两行，得中上 311，中次 165，中副 6，中下 1；

49

311

左行 中行 右行 上 262 次 139 副 5 下 1

165

26

1

1

6

0

日法 165÷311＝0.5305466237 朔余 强数 弱数

以中上 311，退除中次 165，得约余 53054662，多于测定数，又弃去右行，以中行为右行； 仍前左行，并左右两行，得中上 573，中次 304，中副 11，中下 2；

573

左行 中行 右行 上 262 311 次 139 副 5 下 1

165

304

11

6

1

2

日法 304÷573＝0.5305410122 朔余 强数 弱数

以中上 573，退除中次 304，得约余 53054101，少于测定数，又弃去左行，以中行为左行； 仍前右行，并左右两行，得中上 884，中次 469，中副 17，中下 3；

884

左行 中行 右行 上 573 311 次 304 副 11 下 2

165

469

17

1

6

3

日法 469÷884＝0.5305429864 朔余 强数 弱数

以中上 884，退除中次 469，得约余 53054298，多于测定数，又弃去右行，以中行为右行； 仍前左行，并左右两行，得中上 1457，中次 773，中副 28，中下 5；

左行 中行 右行 上 573 1457 884

日法

• 13 -

 “调日法”分析-石远东

次 304 副 11 下 2

773

469

28

5

17

3

773÷1457＝0.53054221002 朔余 强数 弱数

以中上 1457，退除中次 773，得约余 53054221，与测定数合；中上 1457 即日法，中次 773 即朔余，中副 28 即强数，中下 5 即弱数也；它皆仿此。

求日法朔余[有强弱，求日法，朔余，依此术算 ]

术曰：以强母乘强数，又以弱母乘弱数，并之，得日法； 以强子乘强数，又以弱子乘弱数，并之，得朔余； 草曰：以强母 49 乘强数 28，得 1372，于上；又以弱母 17 乘弱数 5，得 85，并上，得

1457，即日法也；

以强子 26 乘强数 28，得 728，于上；又以弱子 9 乘弱数 5，得 45，并上，得 773，即

朔余也；

强母 49 强子 26 强数 28 弱母 17 弱子 9 弱数 5 上 49×28＝1372 日法 17×5＋1372＝1457 26×28＝728 上 朔余 9×5＋728＝773

它皆仿此。

求强弱[有日法，求强弱，依此术算 ] 术曰：置日法，以强母去之，余以 26×17＝442[此数以弱母去之，适尽。以强母去之， 余一]乘之，满 49×17＝833[此数以强、弱二母去之，皆尽。]去之，余为弱实；以弱母除之， 得弱数，以弱实转减日法，余为强实；以强母除之，得强数。

【编者注：考虑齐同术：26/49＝442/833；9/17＝441/833；】 草曰：置日法 1457，以强母 49 去之，余 36，以 442 乘之，得 15912，满 833，去之， 余 85 为弱实；以弱母 17 除之，得 5，即弱数也；以弱实 85 转减日法 1457，余 1372，为强 实；以强母 49 除之，得 28，即强数也；

强母 强子 弱母 弱子 日余＝mod(日法,强母)

强母 49 强子 26 弱母 17 弱子 9 日法 1457＝49×29＋36 弱实 442×36＝833×19＋85 弱实＝mod(强子×弱母×日余,强母×弱母) 弱数 85÷17＝5 上 9×5＝45 强实 1457－85＝1372 强数 1372÷49＝28 朔余 26×28＋45＝773

弱数＝弱实÷弱母 上＝弱子×弱数 强实＝日法－弱实＝日法－弱数×弱母 强数＝强实÷强母 朔余＝强子×强数＋弱子×弱数

它皆仿此。

• 14 -

李锐：日法朔馀强弱考

【编者注：可以适当精简为：

[有日法，求强弱] 强母 强子 弱母 弱子 日寄＝mod(日法,强母) 弱数＝mod(强子×日寄,强母)

强母 49 强子 26 弱母 17 弱子 9 日寄 1457＝49×29＋36 弱数 26×36＝49×19＋5 强数 朔余 26×28＋9×5＝773

(1457－17×5)÷49＝28 强数＝(日法－弱数×弱母)÷强母

朔余＝强子×强数＋弱子×弱数

这里的“求强弱”计算公式可表示成： 弱数＝mod(强子×mod(日法,强母),强母)； 强数＝(日法－弱数×弱母)÷强母； 朔余＝强子×强数＋弱子×弱数； 此公式意在根据日法求朔余，使得“弱子/弱母<朔余/日法<强子/强母”成立。 也可以进一步得到“根据朔余求日法”的计算公式：

[有朔余，求强弱] 强母 强子 弱母 弱子 朔寄＝mod(朔余,强子)

强母 49 强子 26 弱母 17 弱子 9 朔寄 773＝26×29＋19 弱寄 49×19＝931＝26×35＋21 弱寄＝mod (强母×朔寄,强子) 弱数 26－21＝5 (773－9×5)÷26＝28 强数 日法 49×28＋17×5＝1457

弱数＝强子－弱寄 强数＝(朔余－弱子×弱数)÷强子 日法＝强母×强数＋弱母×弱数

这里的“求强弱”计算公式可表示成： 弱数＝强子－mod(强母×mod(朔余,强子),强子)； 强数＝(朔余－弱数×弱子)÷强子； 日法＝强母×强数＋弱母×弱数； 此公式意在根据朔余求日法，使得“弱子/弱母<朔余/日法<强子/强母”成立。 不过，上述公式成立的前提条件是：强子×弱母－弱子×强母＝1；否则，不能使用。】 （04）[魏]韩诩“黄初术” 日法 12079；朔余 6409[约余 53059028]；右术 242 强，13 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算次数：24；】 （05）杨伟“景初术” 日法 4559；朔余 2419[约余 53059881]；右术 92 强，3 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算次数：33；】 （06）[晋]刘智“正术” 日法 35250；朔余 18703[约余 53058156]；右术于率不合。 【编者注：“李锐调日法”运算： 23 次：日法 35250；朔余 18703；701 强，53 弱；右术合于率。 “求强弱公式”计算结果：朔余 18704，718 强，4 弱；】 （07）[后秦]姜岌“三纪甲子元术”

• 15 -

 “调日法”分析-石远东

日法 6063；朔余 3217[约余 53059541]；右术 122 强，5 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算次数：28 次；】 （08）[涼]赵[匪攵]“元始术” 日法 89052；朔余 47251[约余 53060009]；右术于率不合。 【编者注：47251/89052－26/49＝22049/1090887，与 9/17<47251/89052<26/49 矛盾。 “李锐调日法”运算： 49 次：日法 82271；朔余 43653；1662 强，49 弱； 50 次：日法 144395；朔余 76616；2917 强，86 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算结果：朔余 47252，1816 强，4 弱；】 （09）[宋]何承天“元嘉术” 日法 752；朔余 399[约余 53058510]；右术 15 强，1 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算次数：15；】 （10）祖冲之“大明术” 日法 3939；朔余 2090[约余 53059152]；右术 79 强，4 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算次数：23； 祖冲之改变了闰周和冬至测定点，以提高精确度。】 （11）[粱]“大同术” 日法 1536；朔余 815[约余 53059895；《隋志》及《开元占经》俱无此朔余数；此以算 推知。下刘孝孙术，马显“丙演元术”同。案：《开元占经》载“大同术”，章岁 619，纪法 39616；置纪法，以章岁除之，得 64，是大同以 64 章为一纪也。以古章闰 7 乘章岁，得 4333； 如古章岁 19 而一，得 228，为章闰，余 1 弃之；又以 12 乘章岁，得 7428，为章中，以加章 闰，得 7656，为章月；以 64 乘之，得 489984，为纪月；凡日法为纪月之约数；月法为纪日 之约数；以日法除纪月，得 319，即约率也。置纪法，以 365 日乘之，得 14459840；又以 4 除纪法，得 9904，为假岁余，加之，共得 14469744，为假岁分；以约率除之，得 45359， 为月法，余 223，弃之；置月法，以约率乘之，得 14469521，为岁分，一名纪日；以日法除 月法，得 29 日，余 815 为朔余]；右术 31 强，1 弱；

强母 49 章岁 强子 26 纪法 章闰 弱母 17 章月 弱子 9 日法 1536＝49×31＋17 纪月 弱实 442×17＝833×9＋17 约率 弱数 17÷17＝1 上 9×1＝9 强实 1536－17＝1519 强数 1519÷49＝31 朔余 26×31＋9＝815 有日法，求强弱

619 39616＝619×64 7×619＝4333＝19×228＋1 12×619＋228＝7656 7656×64＝489984 489984÷1536＝319 39616÷4＝9904 39616×365＋9904＝14469744 14469744＝319×45359＋223

假岁余 假岁分 月法 岁分（纪日） 45359×319＝14469521 45359＝1536×29＋815 朔余 二者朔余相同

【编者注：“李锐调日法”运算次数：31；】 （12）[後魏]张龙详“正光术” 日法 74952；朔余 39769[约余 53059291]；右术于率不合。 【编者注：“李锐调日法”运算： 34 次：日法 70719；朔余 37523；1420 强，67 弱； 35 次：日法 108718；朔余 57685；2183 强，103 弱；故此术于率不合。

• 16 -

李锐：日法朔馀强弱考

“求强弱公式”计算结果：朔余 39770，1522 强，22 弱；】 （13）[东魏]李业兴“兴和术” 日法 208530；朔余 110647[约余 53060470]；右术于率不合。 【编者注：“李锐调日法”运算： 70 次：日法 186638；朔余 99031；3785 强，69 弱； 71 次：日法 354341；朔余 188015；7186 强，131 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算结果：朔余 110648，4246 强，28 弱；】 （14）刘孝孙术 日法 1144；朔余 607[约余 53059440；案：《隋志》及《开元占经》载“刘孝孙术”，章 岁 619，纪法 8047，岁余 1966；此章岁与“大同术”同，则亦以 7656 为章月也；置纪法， 以章岁除之，得 13，是孝孙以 13 章为一纪也。以 13 乘章月，得 99528，为纪月；以日法除 纪月，得 87，为约率；又以 365 日乘纪法，加岁余，得 2939121，为纪日；以约率除之，得 33783，为月法；以日法除之，得 29 日，余 607 为朔余]；右术 23 强，1 弱；

强母 49 章岁 619 纪法 8047＝619×13 强子 26 弱母 17 岁余 1966 章月 7656 弱子 9 纪月 13×7656＝99528 日法 1144＝49×23＋17 弱实 442×17＝833×9＋17 约率 99528÷1144＝87 弱数 17÷17＝1 9×1＝9 上 强实 1144－17＝1127 强数 1127÷49＝23 朔余 26×23＋9＝607 有日法，求强弱

二者朔余相同

纪日 365×8047＋1966＝2939121 月法 2939121÷87＝33783

33783÷1144＝29.5305944056

朔余 33783＝1144×29＋607

【编者注：“李锐调日法”运算次数：23；】 （15）[北齐]宋景业“天保术” 日法 292635；朔余 155272[约余 53059955]；右术于率不合。 【编者注：“李锐调日法”运算： 50 次：日法 226670；朔余 120271；4577 强，141 弱； 51 次：日法 432441；朔余 229453；8732 强，269 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算结果：朔余 155275，5960 强，35 弱；】 （16）[周]甄鸾“天和术” 日法 290160；朔余 153961[约余 53060725]；右术于率不合。 【编者注：“李锐调日法”运算： 112 次：日法 224718；朔余 119237；4567 强，55 弱； 113 次：日法 335035；朔余 177772；6809 强，82 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算结果：朔余 153962，5914 强，22 弱； [日]薮内清《中国の天文历法》345 页的数据“153991/290160”应该是错误的。】 （17）马显“丙演元术” 日法 53563；朔余 28422[约余 53062748；案：《隋志》及《开元占经》载“丙演元术”， 章岁 448，章闰 165，斗分 3167，蔀法 12992；置蔀法，以章岁除之，得 29，是以 29 章为 一蔀也。以 12 乘章岁，加章闰，得 5541，为章月；以 29 乘之，得 160689，为蔀月；以日 法除之，得 3，为约率；又以 365 日乘蔀法，加入斗分，得 4745247，为蔀日；以约率约之，

• 17 -

 “调日法”分析-石远东

得 1581749，为月法；以日法除之，得 29 日，余 28422 为朔余]；右术于率不合。

章岁 448 章闰 165 斗分 3167 蔀法 12992＝29×448

强母 49 强子 26 弱母 17 弱子 9 日法 53563＝49×1093＋6 章月 12×448＋165＝5376＋165＝5541 弱实 442×6＝833×3＋153 蔀月 5541×29＝160689 约率 160689÷53563＝3 弱数 153÷17＝9 上 蔀日 365×12992＋3167＝4745247 强实 53563－153＝53410 月法 4745247÷3＝1581749 强数 53410÷49＝1090 朔余 26×1090＋81＝28421 朔余 1581749＝53563×29＋28422

1581749÷53563＝29.5306274854

9×9＝81

二者朔余差 1

有日法，求强弱 【编者注：“李锐调日法”运算： 1092 次：日法 53525；朔余 28401；1092 强，1 弱； 1093 次：日法 53574；朔余 28427；1093 强，1 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算结果：日法 53563, ；朔余 28421；1090 强，9 弱；】 （18）[隋]张宾“开皇术” 日法 181920；朔余 96529[约余 53061235]；右术于率不合。 【编者注：“李锐调日法”运算： 3712 次：日法 181905；朔余 96521；3712 强，1 弱； 3713 次：日法 181954；朔余 96547；3713 强，1 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算结果：朔余 96528，3696 强，48 弱；】 （19）张胄元“大业术” 日法 1144；朔余 607；右术与刘孝孙术同。 （20）刘焯“皇极术” 日法 1242；朔余 659[约余 53059581]；右术 25 强，1 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算次数：25； 北齐张子兴发现：“日行在春分后则迟，秋分后则速”，并以算步其“差变之数”，揭开 了中国古代历法对太阳周年视运动不均匀性研究的新篇章。据此，刘焯在“皇极历”中创立 了二次内插算法，用于计算太阳位置，定朔时刻，月日交食，五星运行，等等。】

（21）[唐]傅仁均“戊寅术” 日法 13006；朔余 6901[约余 53060126]；右术 263 强，7 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算次数：42；】 （22）南宫说“神龙术” 日法 100；朔余 53 秒 6[约余 53060000]；右术于率不合。 【编者注：等价于“日法 1000；朔余 536[约余 53000000]”； “李锐调日法”运算： 20 次：日法 997；朔余 529；20 强，1 弱； 21 次：日法 1046；朔余 555；21 强，1 弱；故此术于率不合。 乘上 10 后实现转化： “求强弱公式”计算结果：朔余 53【0】；10 强，30 弱；】 （23）李淳风“麟德术” 日法 1340；朔余 711[约余 53059701]；右术 27 强，1 弱；

• 18 -

李锐：日法朔馀强弱考

【编者注：“李锐调日法”运算次数：27； 梅文鼎曰：非淳风之“麟德历”不能用定朔。】 （24）[僧]一行“大衍术” 日法 3040；朔余 1613[约余 53059210]；右术 61 强，3 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算次数：23； 一行的“大衍历”可谓中国古代历法史上冠绝一时的好历法。 梅文鼎曰：非一行之“大衍历”无以知岁自为岁，天自为天。】 （25）郭献之“五纪术” 日法 1340；朔余 711[约余]；右术与麟德术同。 （26）徐承嗣“贞元术” 日法 1095；朔余 581[约余 53059360]；右术 22 强，1 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算次数：22；】 （27）徐昂“宣明术” 日法 8400；朔余 4457[约余 53059523]；右术 169 强，7 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算次数：31； 梅文鼎曰：不考“宣明历”不知气、刻、时三差。】 （28）边冈“崇元术” 日法 13500；朔余 7163[约余 53059259]；右术 271 强，13 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算次数：28；】 （29）[后周]王朴“钦天术” 日法 7200；朔余 3820 秒 28[约余 53059444]；右术于率不合。 【编者注：“李锐调日法”运算： 29 次：日法 6913；朔余 3668；139 强，6 弱； 30 次：日法 8057；朔余 4275；162 强，7 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 3820；140 强，20 弱； 乘上 100 后实现转化：日法 720000；朔余 382028[约余 53059444]； 55 次：日法 635001；朔余 336928；12767 强，554 弱； 56 次：日法 787447；朔余 417815；15832 强，687 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 382040；14680 强，40 弱； 梅文鼎曰：不考王朴之“钦天历”不知斜正升降之理。】 （30）[宋]王处讷（nè）“应天术” 日法 10002；朔余 5307[约余 53059388]；右术 201 强，9 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算： 27 次：日法 7763；朔余 4119；156 强，7 弱； 28 次：日法 11097；朔余 5888；223 强，10 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 5307；201 强，9 弱；】 （31）吴昭素“乾元术” 日法 2940；朔余 1560[约余与强率约余同]；右术 60 强，弱空； 【编者注：1560/2940＝26/49，与 9/17<1560/2940<26/49 矛盾。 “李锐调日法”运算： 59 次：日法 2908；朔余 1543；59 强，1 弱； 60 次：日法 2957；朔余 1569；60 强，1 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 1560；60 强，0 弱；】 （32）史序“仪天术”

• 19 -

 “调日法”分析-石远东

日法 10100；朔余 5359[约余 53059405]；右术 203 强，9 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算次数：28；】 （33）宋行古“崇天术” 日法 10590；朔余 5619[约余 53059490]；右术 213 强，9 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算： 28 次：日法 9397；朔余 4986；189 强，8 弱； 29 次：日法 12927；朔余 6859；260 强，11 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 5619；213 强，9 弱；】 （34）周琮“明天术” 日法 39000；朔余 20693[约余 53058974]；右术 781 强，43 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算： 28 次：日法 22671；朔余 12029；454 强，25 弱； 29 次：日法 39899；朔余 21170；799 强，44 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 20693；781 强，43 弱；】 （35）卫朴“奉元术” 日法 23700；朔余 12575[约余 53059071；案：此及“占天术”，“淳祐术”，“会天术”， 金“乙未术”五术各史不载，朔余数以设立推知。置日法，以强母 49 去之，余 33；以 442 乘之，得 14586，满 833 去之，余 425 为弱实；以弱母 17 除之，得 25，为弱数；以弱子 9 乘之，得 225，于上；以弱实反减日法，余 23275，为强数；以强母除之，得 475，为强数； 以强子 26 乘之，得 12350，加上位得 12575，为朔余]；右术 475 强，25 弱；

强母 49 强子 26 弱母 17 弱子 9 日法 23700＝49×483＋33 弱实 442×33＝833×17＋425 弱数 425÷17＝25 9×25＝225 上 强实 23700－425＝23275 强数 23275÷49＝475 朔余 26×475＋225＝12575 【编者注：“李锐调日法”运算： 43 次：日法 23651；朔余 12549；474 强，25 弱； 44 次：日法 24599；朔余 13052；493 强，26 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 12575；475 强，25 弱；】 （36）皇居卿“观天术” 日法 12030；朔余 6383[约余 53059019]；右术 241 强，13 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算次数：26；】 （37）姚舜辅“占天术” 日法 28080；朔余 14899[约余 53059116；置日法，以强母 49 去之，余 3；以 442 乘之， 得 1326，满 833 去之，余 493 为弱实；以弱母 17 除之，得 29，为弱数；以弱子 9 乘之，得 261，于上；以弱实反减日法，余 27587，为强数；以强母除之，得 563，为强数；以强子 26 乘之，得 14638，加上位得 14899，为朔余]；右术 563 强，29 弱；

强母 49

• 20 -

李锐：日法朔馀强弱考

强子 26 弱母 17 弱子 9 日法 28080＝49×573＋3 弱实 442×3＝833×1＋493 弱数 493÷17＝29 上 9×29＝261 强实 28080－493＝27587 强数 27587÷49＝563 朔余 26×563＋261＝14899 【编者注：“李锐调日法”运算： 28 次：日法 26135；朔余 13867；524 强，27 弱； 29 次：日法 30973；朔余 16434；621 强，32 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 14899；563 强，29 弱；】 （38）“纪元术”[亦姚舜辅造] 日法 7290；朔余 3868[约余 53058984]；右术 146 强，8 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算： 23 次：日法 4544；朔余 2411；91 强，5 弱； 24 次：日法 8189；朔余 4345；164 强，9 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 3868；146 强，8 弱；】 （39）陈德一“统元术” 日法 6930；朔余 3677[约余 53059163]；右术 139 强，7 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算次数：26；】 （40）刘孝荣“乾道术” 日法 30000；朔余 15917 秒 76[约余 53059200]；右术于率不合。 【编者注：“李锐调日法”运算： 28 次：日法 22179；朔余 11768；445 强，22 弱； 29 次：日法 31250；朔余 16581；627 强，31 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 15918；606 强，18 弱； 乘上 100 后实现转化：日法 3000000；朔余 1591776[约余 53059200]； 124 次：日法 2977821；朔余 1580008；59747 强，2954 弱； 125 次：日法 3009071；朔余 1596589；60374 强，2985 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 1591836；61212 强，36 弱； 或者等价于“日法 2999887；朔余 1591776[约余 53061198]”； “李锐调日法”运算： 1587 次：日法 2234207；朔余 1185497；45586 强，29 弱； 1588 次：日法 3312788；朔余 1757805；67593 强，43 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 1591776；61209 强，38 弱； 或者等价于“日法 2999886；朔余 1591776[约余 53061216]”； “李锐调日法”运算： 4912 次：日法 2644227；朔余 1403059；53960 强，11 弱； 4913 次：日法 3125000；朔余 1658163；63771 强，13 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 1591776；61218 强，12 弱；】 （41）“淳熙术”

• 21 -

 “调日法”分析-石远东

日法 5640；朔余 2992 秒 56[约余 53059504]；右术于率不合。 【编者注：“李锐调日法”运算： 27 次：日法 4723；朔余 2506；95 强，4 弱； 28 次：日法 5916；朔余 3139；119 强，5 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 2992；104 强，32 弱； 乘上 100 后实现转化：日法 564000；朔余 299256[约余 53059504]； 41 次：日法 451936；朔余 239795；9091 强，381 弱； 42 次：日法 588347；朔余 312174；11835 强，496 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 299265；强 11505，15 弱； 或者等价于“日法 563984；朔余 299256[约余 53061079]”； “李锐调日法”运算： 300 次：日法 533031；朔余 282832；10865 强，38 弱； 301 次：日法 715385；朔余 379591；14582 强，51 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余；11496 强，40 弱； 或者等价于“日法 563983；朔余 299256[约余 53061173]”； “李锐调日法”运算： 816 次：日法 515260；朔余 273403；10511 强，13 弱； 817 次：日法 594527；朔余 315463；12128 强，15 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余；11505 强，14 弱；】 （42）“会元术” [以上二术亦刘孝荣造] 日法 38700；朔余 20534[约余 53059431]；右术 778 强，34 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算： 34 次：日法 37556；朔余 19927；755 强，33 弱； 35 次：日法 46659；朔余 24757；938 强，41 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 20534；778 强，34 弱；】 （43）杨忠辅“统天术” 日法 12000；朔余 6368[约余 53066666；案：此朔余强于强率，故推“天正经朔有 500，

乘距算，退位减之”之法；然较诸家，终为太强]；右术于率不合。

【编者注：“李锐调日法”运算： 244 次：日法 11973；朔余 6353；244 强，1 弱； 245 次：日法 12022；朔余 6379；245 强，1 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 6367；239 强，17 弱； 杨忠辅是最早发现回归年长不是常数的人。 梅文鼎曰：不读“统天历”不知“授时”之岁时消长。】 （44）鲍瀚之“开禧术” 日法 16900；朔余 8967[约余 53059171]；右术 339 强，17 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算： 35 次：日法 15903；朔余 8438；319 强，16 弱； 36 次：日法 30809；朔余 16347；618 强，31 弱；故此术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 8967；339 强，17 弱；】 （45）李德卿“淳祐术” 日法 3530；朔余 1873[约余 53059490 与“崇天术”同；置日法，以强母 49 去之，余 2； 以 442 乘之，得 884，满 833 去之，余 51 为弱实；以弱母 17 除之，得 3，为弱数；以弱子 9 乘之，得 27，于上；以弱实反减日法，余 3479，为强数；以强母除之，得 71，为强数；

• 22 -

李锐：日法朔馀强弱考

以强子 26 乘之，得 1846，加上位得 1873，为朔余]；右术 71 强，3 弱；

强母 49 强子 26 弱母 17 弱子 9 日法 3530＝49×72＋2 弱实 442×2＝833×1＋51 弱数 51÷17＝3 上 9×3＝27 强实 3530－51＝3479 强数 3479÷49＝71 朔余 26×71＋27＝1873

【编者注：“李锐调日法”运算次数：26；】 （46）谭玉“会天术” 日法 9740；朔余 5168[约余 53059548；置日法，以强母 49 去之，余 38；以 442 乘之， 得 16796，满 833 去之，余 136 为弱实；以弱母 17 除之，得 8，为弱数；以弱子 9 乘之，得 72，于上；以弱实反减日法，余 9604，为强数；以强母除之，得 196，为强数；以强子 26 乘之，得 5096，加上位得 5168，为朔余]；右术 196 强，8 弱；

强母 49 强子 26 弱母 17 弱子 9 日法 9740＝49×198＋38 弱实 442×38＝833×20＋136 弱数 136÷17＝8 上 9×8＝72 强实 9740－136＝9604 强数 9604÷49＝196 朔余 26×196＋72＝5168 【编者注：“李锐调日法”运算： 29 次：日法 8498；朔余 4509；171 强，7 弱； 30 次：日法 10933；朔余 5801；220 强，9 弱；故此术于率不合。】 （47）陈鼎“成天术” 日法 7420；朔余 3937[约余 53059299]；右术 149 强，7 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算次数：26；】 （48）[金]杨级“大明术” 日法 5230；朔余 2775[约余 53059273；案：金元二史志俱不载级术朔余数，此据赵知

微“重修大明术”补]；右术 105 强，5 弱； 【编者注：“李锐调日法”运算： 25 次：日法 5181；朔余 2749；104 强，5 弱； 26 次：日法 6227；朔余 3304；125 强，6 弱；故此术于率不合。】 （49）赵知微“重修大明术” 日法 5230；朔余 2775；右术与前术同。 （50）耶律履“乙未术”

• 23 -

 “调日法”分析-石远东

日法 20690；朔余 10978[约余 53059449；置日法，以强母 49 除之，余 12，以 442 乘之， 得 5304，满 833 去之，余 306，为弱实；以弱母 17 除之，得 18，为弱数；以弱子 9 乘之， 得 162，于上；以弱实反减日法，余 20384，为强实；以强母除之，得 416，为强数；以强 子 26 乘之，得 10816，加上位得 10978，为朔余]；右术 416 强，18 弱；

强母 49 强子 26 弱母 17 弱子 9 日法 20690＝49×422＋12 弱实 442×12＝5304＝833×6＋306 弱数 306÷17＝18 上 9×18＝162 强实 20690－306＝20384 强数 20384÷49＝416 朔余 26×416＋162＝10978 【编者注：“李锐调日法”运算： 33 次：日法 11489；朔余 6096；231 强，10 弱； 34 次：日法 21834；朔余 11585；439 强，19 弱；故此术于率不合。】 （51）[元]郭守敬“授时术”

日法 10000；朔余 5305 秒 93[约余 53059300；案：日法 10000 于率为 202 强，6 弱；朔余当 5306；今朔余止 5 有奇，不合强弱之率，不得为日法，故《授时术议》云：积年，日法不用 也。《元史·卷五十三·志第五·历二·授时历议下》末演纪三条：

【编者注：乘上 100 后实现转化： “李锐调日法”运算：39 次：日法 1000000；朔余 530593；20081 强，943 弱； “求强弱公式”计算得：日法 1000000；朔余 530612；20404 强，12 弱； 二者有出入。】 其云：日法 2190 者，以强弱求之，为 44 强，2 弱；朔余 1162； 【编者注：“李锐调日法”运算： 23 次：日法 2141；朔余 1136；43 强，2 弱； 24 次：日法 3187；朔余 1691；64 强，3 弱；故此术于率不合。】 其云：日法 8270 者，以强弱求之，为 166 强，8 弱；朔余 4388； 【编者注：“李锐调日法”运算： 26 次：日法 7420；朔余 3937；149 强，7 弱； 27 次：日法 10607；朔余 5628；213 强，10 弱；故此术于率不合。】 其云：日法 6570 者，以强弱求之，为 132 强，6 弱；朔余 3486； 【编者注：“李锐调日法”运算： 25 次：日法 4233；朔余 2246；85 强，4 弱； 26 次：日法 7420；朔余 3937；149 强，7 弱；故此术于率不合。】 此三日法并与何承天密合，言“若用日法，则如此三条也”，所以为此说者强弱率为唐

宋相傅旧法，一旦废弃恐议者非之，故反复申明以示改宪之意耳]；右术于率不合。

日法朔馀强弱考 [清]李锐 同县门人 蒋廷荣 校字

• 24 -

李锐：日法朔馀强弱考

【编者注：统计结果： 合于率的：3，4，5，7，9，10，11，14，19，20，21，23，24，25，26，27，28，32， 36，39，45，47；（22 个）。 不合于率的：1，2，6，8，12，13，15，16，17，18，22，29，30，31，33，34，35， 37，38，40，41，42，43，44，46，48，49，50，51；（29 个）。 不合于“李锐调日法”，合于“求强弱公式”的：30，31，33，34，35，37，38，42， 44，46，48，49，50。（14 个）； 不合于“李锐调日法”和“求强弱公式”的：1，2，6，8，12，13，15，16，17，18， 22，29，40，41，43，51。（16 个）；】

• 25 -

“调日法”分析-石远东

秦九韶调日法

秦九韶调日法来源于《数术大略》“天时第二”的第 12 题：治历演纪： 问：开禧历，积年七百八十四万八千一百八十三，欲知：推演之原，调日法，求朔余， 朔率，斗分，岁率，岁闰，入元岁，入闰，朔定骨，闰泛骨，闰缩，纪率，气元率，元闰， 元数，及气等率，因率，蔀率，朔等数，因数，蔀数，朔积年，二十三事，各几何？

答曰：日法，一万六千九百； 朔余，八千九百六十七； 朔率，四十九万九千六十七； 斗分，四千一百八；【编者注：其余略去，下同。】 术曰：以历法求之，大衍入之。 调日法，如何承天术，用强弱母子互乘，得数，并之，为朔余。 以二十九日通日法，增入朔余，为朔率。 又以日法乘前历所测冬至气刻分，收弃末位为偶数，得斗分。 草曰：本历以何承天术，调得 16900 为日法。

强率子 强率母 弱率子 弱率母 分母变形 调整 507 调整分母 分子

17 49 100＝49＋3×17 9

26

16900＝169×100＝169×(1×49＋3×17)＝169×49＋507×17 507＝10×49＋17 16900＝(169＋10×17)×49＋17×17 (169＋10×17)×26＋17×9＝8967，直观的选取方法见下表

设： m ＝169＋17 i ； n ＝507－49 i ；

i 强数 m 弱数 n 49 m ＋17 n 朔余 26 m ＋9 n 0.5305917159 0.5300000000 0

16900

8957

507

169

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

186

203

220

237

254

271

288

305

322

339

356

458

409

360

311

262

213

164

115

66

17 －32

16900

16900

16900

16900

16900

16900

16900

16900

16900

16900

16900

8958

8959

8960

8961

8962

8963

8964

8965

8966

8967

8968

0.5300591716

0.5301183432

0.5301775148

0.5302366864

0.5302958580

0.5303550296

0.5304142012

0.5304733728

0.5305325444

0.5305917160

0.5306508876

系 339 强，17 弱；先以强数 339，乘弱母 26，得 8814 于上；次以弱数 17，乘弱子 9，

得 153，并上，共得 8967，为朔余。

次以日法 16900，通朔策 29 日，得 490100，增入朔余，得 499067，为朔率。 又以日法 16900，乘统天历所测，每岁冬至周日下 24 刻 31 分，得 4108 分 39 秒，为斗 泛分。斗泛分见偶则弃，见奇则收为偶。验 8 分既偶，遗弃 39 秒，只以 4108 分为斗定分。

据此，我们得到秦九韶调日法（亦即“秦九韶求强弱公式”）的计算程序是：

• 26 -

秦九韶调日法

P＝C×49＋D×17

基数 P 分母变形 日法＝Q×P＝Q×(C×49＋D×17)＝Q×C×49＋Q×D×17 调整 调整分母 日法＝Q×P＝(Q×C＋E×17)×49＋B×17＝A×49＋B×17 朔余

A×26＋B×9＝朔余

Q×D＝E×49＋B

许多日法的基数 P 都不只一种，因此，许多日法都有不只一种的拆法，在这里，我不能

罗列全部的拆法，最多只能罗列其中的五个。

（01）[汉]刘歆“三统历” 日法 81；朔余 43[约余 53086419]；右术于率不合； 没有合适的基数 P。 （02）[后汉]“四分历” 日法 940；朔余 499[约余 53085106]；右术于率不合； 只有一种拆法，无法得到朔余 499；

470＝3×49＋19×17

基数 P 分母变形 940＝2×470＝2×(3×49＋19×17)＝6×49＋38×17 调整 调整分母 940＝(6＋0×17)×49＋38×17＝6×49＋38×17 朔余

6×26＋38×9＝498

38＝0×49＋38

（03）刘洪“乾象历” 日法 1457；朔余 773[约余 53054221]；右术 28 强，5 弱； 没有合适的基数 P。 （04）[魏]韩诩“黄初历” 日法 12079；朔余 6409[约余 53059028]；右术 242 强，13 弱 没有合适的基数 P。 （05）杨伟“景初历” 日法 4559；朔余 2419[约余 53059881]；右术 92 强，3 弱； 没有合适的基数 P。 （06）[晋]刘智“正历” 日法 35250；朔余 18703[约余 53058156]；右术 701 强，53 弱； 若取 35250＝17625×2，则：

17625＝2×49＋1031×17

基数 P 分母变形 35250＝17625×2＝2×(2×49＋1031×17)＝4×49＋2062×17 调整 调整分母 35250＝17625×2＝(4＋42×17)×49＋4×17＝718×49＋4×17 朔余

718×26＋4×9＝18704

2062＝42×49＋4

不正确，朔余为 18704，718 强，4 弱；还有以下拆分方法，均不正确。 B

Q PQ

E D

C A

基数 P 17625=171031+492 2

35250=17625*2 42 1031 2

718 4

470=1719+493

75 35250=470*75

29 19

11750=17671+497

3

35250=11750*3 41 67

1410=1757+499

25 35250=1410*25 29 57

3

7

9

718 4

718 4

718 4

7050=17383+4911

5

35250=7050*5

39 383

11 718 4

（07）[后秦]姜岌“三纪甲子元历”

• 27 -

“调日法”分析-石远东

日法 6063；朔余 3217[约余 53059541]；右术 122 强，5 弱； 朔余 3217，正确，还有以下拆分方法，

基数 P 2021=17116+491 3 6063=2021*3 7 116 1

Q PQ

E D

C A

B

122 5

2021=1767+4918 3 6063=2021*3 4 67

18 122 5

（08）[涼]赵[匪攵]“元始历” 日法 89052；朔余 47251[约余 53060009]；右术于率不合。 朔余 47252，不正确，还有以下拆分方法，

基数 P 1086=1761+491

Q PQ

E

D

C A

B

82 89052=1086*82 102 61

1 1816 4

2172=17122+492

41 89052=2172*41 102 122

2 1816 4

7421=17425+494

12 89052=7421*12 104 425

4 1816 4

44526=172599+497 2

89052=44526*2 106 2599 7 1816 4

14842=17850+498

6

89052=14842*6 104 850

8 1816 4

（09）[宋]何承天“元嘉历” 日法 752；朔余 399[约余 53058510]；右术 15 强，1 弱； 没有合适的基数 P。 （10）祖冲之“大明历” 日法 3939；朔余 2090[约余 53059152]；右术 79 强，4 弱； 只有一种拆法，正确：

1313＝15×49＋34×17

基数 P 分母变形 3939＝1313×3＝3×(15×49＋34×17)＝45×49＋102×17 调整 调整分母 3939＝(45＋2×17)×49＋4×17＝79×49＋4×17 朔余

79×26＋4×9＝2090

102＝2×49＋4

（11）[粱]“大同历” 日法 1536；朔余 815[约余 53059895；]；右术 31 强，1 弱； 只有一种拆法，正确：

768＝7×49＋25×17

基数 P 分母变形 1536＝2×(7×49＋25×17)＝14×49＋50×17 调整 调整分母 1536＝(14＋1×17)×49＋1×17＝31×49＋1×17 朔余

31×26＋1×9＝815

50＝1×49＋1

（12）[後魏]张龙详“正光历” 日法 74952；朔余 39769[约余 53059291]；右术于率不合。 朔余 39770，不正确，还有以下拆分方法，

基数 P 8328=17487+491

Q

9

PQ

E D

C A

B

74952=8328*9

89 487 1 1522 22

1388=1773+493

54

74952=1388*54 80 73

3 1522 22

24984=171461+493 3

74952=24984*3 8

146 3 1522 22

347=176+495

216 74952=347*216 26 6

5 1522 22

6246=17353+495

12

74952=6246*12 86 353 5 1522 22

（13）[东魏]李业兴“兴和历”

• 28 -

秦九韶调日法

日法 208530；朔余 110647[约余 53060470]；右术于率不合。 朔余 110648，不正确，还有以下拆分方法，

基数 P 6951=17406+491

13902=17812+492

Q

30

15

PQ

E

D

C A

B

208530=6951*30

248 406

1 4246 28

208530=13902*15 248 812

2 4246 28

20853=171218+493 10

208530=20853*10 248 1218 3 4246 28

315=177+494

662 208530=315*662

94

7

4 4246 28

993=1744+495

210 208530=993*210

188 44

5 4246 28

（14）刘孝孙术 日法 1144；朔余 607[约余 53059440；]；右术 23 强，1 弱； 只有一种拆法，正确：

572＝3×49＋25×17

基数 P 分母变形 1144＝2×(3×49＋25×17)＝6×49＋50×17 调整 调整分母 1144＝(6＋1×17)×49＋1×17＝23×49＋1×17 朔余

23×26＋1×9＝607

50＝1×49＋1

（15）[北齐]宋景业“天保历” 日法 292635；朔余 155272[约余 53059955]；右术于率不合。 朔余 155275，不正确，还有以下拆分方法，

基数 P 58527=173437+492 5

Q

PQ

E

D

C A

B

292635=58527*5 350 3437 2 5960 35

929=1746+493

315 292635=929*315 295 46

3 5960 35

32515=171904+493 9

292635=32515*9 349 1904 3 5960 35

315=177+494

929 292635=315*929 132 7

4 5960 35

6503=17371+494

45 （16）[周]甄鸾“天和历” 日法 290160；朔余 153961[约余 53060725]；右术于率不合。 朔余 153962，不正确，还有以下拆分方法，

292635=6503*45 340 371

4 5960 35

基数 P 117=174+491

372=1719+491

780=1743+491

2480=17143+491

Q

PQ

E

D

C A

B

2480 290160=117*2480 202 4

1 5914 22

780

372

117

290160=372*780

302 19

1 5914 22

290160=780*372

326 43

1 5914 22

290160=2480*117 341 143

1 5914 22

19344=171135+491 15

290160=19344*15 347 1135 1 5914 22

（17）马显“丙演元历” 日法 53563；朔余 28422[约余 53062748；]；右术于率不合。 朔余 28421，不正确，还有以下拆分方法，

基数 P 1847=17100+493 29 53563=1847*29 59 100 3

Q PQ

E D

C A

B

1090 9

1847=1751+4920 29 53563=1847*29 30 51

20 1090 9

（18）[隋]张宾“开皇历” 日法 181920；朔余 96529[约余 53061235]；右术于率不合。 朔余 96528，不正确，还有以下拆分方法，

• 29 -

“调日法”分析-石远东

基数 P 1137=1764+491

7580=17443+491

2274=17128+492

15160=17886+492

Q

PQ

E

D

C A

B

160 181920=1137*160 208 64

1 3696 48

24

80

12

181920=7580*24

216 443

1 3696 48

181920=2274*80

208 128

2 3696 48

181920=15160*12 216 886

2 3696 48

22740=171329+493 8

181920=22740*8

216 1329 3 3696 48

（19）张胄元“大业历” 日法 1144；朔余 607；右术与刘孝孙术同。 （20）刘焯“皇极历” 日法 1242；朔余 659[约余 53059581]；右术 25 强，1 弱； 只有一种拆法，正确：

621＝4×49＋25×17

基数 P 分母变形 1242＝2×(4×49＋25×17)＝8×49＋50×17 调整 调整分母 1242＝(8＋1×17)×49＋1×17＝25×49＋1×17 朔余

25×26＋1×9＝659

50＝1×49＋1

（21）[唐]傅仁均“戊寅历” 日法 13006；朔余 6901[约余 53060126]；右术 263 强，7 弱； 朔余 6901，正确，还有以下拆分方法，

基数 P 929=1746+493

Q PQ

E D

C A

B

14 13006=929*14 13 46

3

263 7

6503=17371+494

1858=1792+496

2

7

13006=6503*2 15 371 4

263 7

13006=1858*7 13 92

6

263 7

6503=17322+4921 2

13006=6503*2 13 322 21 263 7

13006=1858*7 6

1858=1743+4923 7 （22）南宫说“神龙历” 日法 100；朔余 53 秒 6[约余 53060000]；右术于率不合。 若取日法 100；朔余 53.6，则：

43

23 263 7

100＝1×49＋3×17

基数 P 分母变形 100＝1×100＝1×(1×49＋3×17)＝1×49＋3×17 调整 调整分母 100＝(1＋0×17)×49＋3×17＝1×49＋3×17 朔余

3＝0×49＋3

1×26＋3×9＝53 若取日法 1000；朔余 536，则：

100＝1×49＋3×17

基数 P 分母变形 1000＝10×100＝10×(1×49＋3×17)＝10×49＋30×17 调整 调整分母 1000＝(10＋0×17)×49＋30×17＝10×49＋30×17 朔余

30＝0×49＋30

10×26＋30×9＝530 无论如何，秦九韶方法都不正确。 （23）李淳风“麟德历” 日法 1340；朔余 711[约余 53059701]；右术 27 强，1 弱；

基数 P

Q PQ

E D C A B

• 30 -

秦九韶调日法

134=175+491

10 1340=134*10 1 5

1 27 1

268=1710+492 5

1340=268*5

1 10 2 27 1

1340=670*2

670=1725+495 2 （24）僧一行“大衍历” 日法 3040；朔余 1613[约余 53059210]；右术 61 强，3 弱； 朔余 1613，正确，还有以下拆分方法，

1 25 5 27 1

基数 P 304=1715+491

608=1730+492

1520=1775+495

760=1713+4911

Q PQ

E D C A B

10 3040=304*10 3 15 1

61 3

5

2

4

3040=608*5

3 30 2

61 3

3040=1520*2 3 75 5

61 3

3040=760*4

1 13 11 61 3

3040=1520*2 1 26 22 61 3

1520=1726+4922 2 （25）郭献之“五纪历” 日法 1340；朔余 711[约余]；右术与麟德术同。 （26）徐承嗣“贞元历” 日法 1095；朔余 581[约余 53059360]；右术 22 强，1 弱； 只有一种拆法，正确：

219＝1×49＋10×17

基数 P 分母变形 1095＝5×(1×49＋10×17)＝5×49＋50×17 调整 调整分母 1095＝(5＋1×17)×49＋1×17＝22×49＋1×17 朔余

22×26＋1×9＝581

50＝1×49＋1

（27）徐昂“宣明历” 日法 8400；朔余 4457[约余 53059523]；右术 169 强，7 弱； 若取 8400＝84×100，则：

100＝1×49＋3×17

基数 P 分母变形 8400＝84×100＝84×(1×49＋3×17)＝84×49＋252×17 调整 调整分母 8400＝(84＋5×17)×49＋7×17＝169×49＋7×17 朔余

(84＋5×17)×26＋7×9＝4457

252＝5×49＋7

朔余正确，还有以下拆分方法，

基数 P 100=173+491

Q PQ

E D C A

B

84 8400=100*84 5 3

1 169 7

168=177+491

50 8400=168*50 7 7

1 169 7

525=1728+491 16 8400=525*16 9 28 1 169 7

200=176+492

42 8400=200*42 5 6

2 169 7

336=1714+492 25 8400=336*25 7 14 2 169 7

（28）边冈“崇玄历” 日法 13500；朔余 7163[约余 53059259]；右术 271 强，13 弱； 若取 13500＝135×100，则：

100＝1×49＋3×17

基数 P 分母变形 13500＝135×100＝135×(1×49＋3×17)＝135×49＋405×17 调整

405＝8×49＋13

• 31 -

“调日法”分析-石远东

调整分母 13500＝(135＋8×17)×49＋13×17＝271×49＋13×17 朔余

(135＋8×17)×26＋13×9＝7163

朔余正确，还有以下拆分方法， PQ

Q

基数 P 100=173+491

135 13500=100*135 8

3

1 271 13

E D

C A

B

270=1713+491

540=1726+492

300=179+493

50

25

45

13500=270*50

13 13

1 271 13

13500=540*25

13 26

2 271 13

13500=300*45

45 49

3 271 13

13500=3375*4

3375=17187+494 4 （29）[后周]王朴“钦天历” 日法 7200；朔余 3820 秒 28[约余 53059444]；右术于率不合。 若取 7200＝72×100，则：

15 187 4 271 13

100＝1×49＋3×17

基数 P 分母变形 7200＝72×100＝72×(1×49＋3×17)＝72×49＋216×17 调整 调整分母 7200＝(72＋4×17)×49＋20×17＝×49＋20×17 朔余

(72＋4＋×17)×26＋20×9＝3820

216＝4×49＋20

朔余 3820，不正确，还有以下拆分方法，

基数 P 100=173+491

Q PQ

E D

C A

B

72 7200=100*72 4 3

1 140 20

1800=17103+491 4

7200=1800*4 8 103 1 140 20

200=176+492

36 7200=200*36 4 6

2 140 20

3600=17206+492 2

7200=3600*2 8 206 2 140 20

300=179+493

24 7200=300*24 4 9

3 140 20

（30）[宋]王处讷“应天历” 日法 10002；朔余 5307[约余 53059388]；右术 201 强，9 弱； 朔余正确，还有以下拆分方法， Q PQ

E D

C A

B

基数 P 5001=17274+497

2 10002=5001*2 11 274 7

201 9

1667=1775+498

6 10002=1667*6 9

75

8

201 9

3334=17150+4916 3 10002=3334*3 9

150 16 201 9

5001=17225+4924 2 10002=5001*2 9

225 24 201 9

6 10002=1667*6 3

1667=1726+4925 （31）吴昭素“乾元历” 日法 2940；朔余 1560[约余与强率约余同]；右术 60 强，弱空； 朔余正确，还有以下拆分方法，

26

25 201 9

基数 P 980=1749+493

Q PQ

E D C A B

3 2940=980*3

3 49 3

60 0

1470=1749+4913 2 2940=1470*2 2 49 13 60 0

（32）史序“仪天历” 日法 10100；朔余 5359[约余 53059405]；右术 203 强，9 弱； 若取 10100＝101×100，则：

基数 P

100＝1×49＋3×17

• 32 -

秦九韶调日法

分母变形 10100＝101×100＝101×(1×49＋3×17)＝101×49＋303×17 调整 调整分母 10100＝(101＋6×17)×49＋9×17＝203×49＋9×17 朔余

(101＋6×17)×26＋9×9＝5359

303＝6×49＋9

朔余正确，还有以下拆分方法， PQ

Q

基数 P 100=173+491

101 10100=100*101 6

202=179+491

404=1718+492

50

25

10100=202*50

10100=404*25

9

9

E D

C A

B

3

9

1 203 9

1 203 9

18

2 203 9

2525=17137+494 4

10100=2525*4

11 137 4 203 9

1010=1745+495

10100=1010*10 9

10 （33）宋行古“崇天历” 日法 10590；朔余 5619[约余 53059490]；右术 213 强，9 弱； 朔余正确，还有以下拆分方法， Q PQ

E D

45

C A

5 203 9

B

30 10590=353*30

9

15

2

213 9

基数 P 353=1715+492

3530=17199+493 3

10590=3530*3

12 199 3

213 9

706=1730+494

15 10590=706*15

9

1059=1745+496

10 10590=1059*10 9

1765=1775+4910 6

10590=1765*6

9

30

45

75

4

6

213 9

213 9

10 213 9

（34）周琮“明天历” 日法 39000；朔余 20693[约余 53058974]；右术 781 强，43 弱； 若取 39000＝390×100，则：

100＝1×49＋3×17

基数 P 分母变形 39000＝390×100＝390×(1×49＋3×17)＝390×49＋1170×17 调整 调整分母 39000＝(390＋23×17)×49＋43×17＝781×49＋43×17 朔余

(390＋23×17)×26＋43×9＝20693

1170＝23×49＋43

朔余正确，还有以下拆分方法， PQ

Q

基数 P 100=173+491

390 39000=100*390 23 3

1 781 43

E D

C A

B

780=1743+491

50

39000=780*50

43 43

1 781 43

200=176+492

195 39000=200*195 23 6

2 781 43

1560=1786+492

25

39000=1560*25 43 86

2 781 43

4875=17281+492 8

39000=4875*8

45 281 2 781 43

（35）卫朴“奉元历” 日法 23700；朔余 12575[约余 53059071；]；右术 475 强，25 弱； 若取 23700＝100×237，则：

100＝1×49＋3×17

基数 P 分母变形 23700＝237×100＝237×(1×49＋3×17)＝237×49＋711×17 调整 调整分母 23700＝(237＋14×17)×49＋25×17＝475×49＋25×17 朔余

(237＋14×17)×26＋25×9＝12575

711＝14×49＋25

• 33 -

“调日法”分析-石远东

朔余正确，还有以下拆分方法， PQ

Q

基数 P 100=173+491

237 23700=100*237 14 3

1 475 25

E D

C A

B

474=1725+491

948=1750+492

300=179+493

50

25

79

23700=474*50

25 25

1 475 25

23700=948*25

25 50

2 475 25

23700=300*79

14 9

3 475 25

23700=5925*4

5925=17337+494 4 （36）皇居卿“观天历” 日法 12030；朔余 6383[约余 53059019]；右术 241 强，13 弱； 朔余正确，还有以下拆分方法， Q PQ

E D

C A

27 337 4 475 25

B

基数 P 4010=17233+491 3

12030=4010*3

14 233 1 241 13

1203=1765+492

10 12030=1203*10 13 65

2 241 13

2406=17130+494 5

12030=2406*5

13 130 4 241 13

802=1727+497

15 12030=802*15

8

27

7 241 13

12030=2005*6

2005=1792+499

6 （37）姚舜辅“占天历” 日法 28080；朔余 14899[约余 53059116；]；右术 563 强，29 弱； 朔余正确，还有以下拆分方法， PQ

11 92

E D

C A

Q

9 241 13

B

基数 P 117=174+491

240 28080=117*240 19 4

1 563 29

270=1713+491

104 28080=270*104 27 13

1 563 29

780=1743+491

36

28080=780*36

31 43

1 563 29

14040=17823+491 2

28080=14040*2 33 823 1 563 29

234=178+492

120 28080=234*120 19 8

2 563 29

（38）“纪元历”[亦姚舜辅造] 日法 7290；朔余 3868[约余 53058984]；右术 164 强，8 弱； 朔余正确，还有以下拆分方法， Q PQ

C A

E D

B

基数 P 270=1713+491

27 7290=270*27 7 13

1 146 8

729=1740+491

10 7290=729*10 8 40

1 146 8

1458=1780+492

810=1739+493

5

9

7290=1458*5 8 80

2 146 8

7290=810*9

7 39

3 146 8

7290=3645*2 8 200 5 146 8

3645=17200+495 2 （39）陈德一“统元历” 日法 6930；朔余 3677[约余 53059163]；右术 139 强，7 弱； 朔余正确，还有以下拆分方法， PQ

B A

E A

Q

B

105 6930=66*105 2 1

1 139 7

基数 P 66=171+491

2310=17133+491 3

6930=2310*3 8 133 1 139 7

693=1735+492

198=173+493

385=1714+493

10

35

18

6930=693*10 7 35

2 139 7

6930=198*35 2 3

3 139 7

6930=385*18 5 14

3 139 7

• 34 -

秦九韶调日法

（40）刘孝荣“乾道历” 日法 30000；朔余 15917 秒 76[约余 53059200]；右术于率不合。 若取 30000＝300×100，则：

100＝1×49＋3×17

基数 P 分母变形 30000＝300×100＝300×(1×49＋3×17)＝300×49＋900×17 调整 调整分母 30000＝(300＋18×17)×49＋18×17＝606×49＋18×17 (300＋18×17)×26＋18×9＝15918，差 1.76 朔余

900＝18×49＋18

朔余 15918，不正确，还有以下拆分方法，

基数 P 100=173+491

Q

PQ

E D

C A

B

300 30000=100*300 18 3

1 606 18

200=176+492

150 30000=200*150 18 6

2 606 18

625=1731+492

48

30000=625*48

30 31

2 606 18

300=179+493

100 30000=300*100 18 9

3 606 18

2000=17109+493 15

30000=2000*15 33 109 3 606 18

（41）“淳熙历” 日法 5640；朔余 2992 秒 56[约余 53059504]；右术于率不合。 朔余 2992，不正确，还有以下拆分方法，

基数 P 2820=17163+491 2

Q PQ

E D

C A

B

5640=2820*2 6 163 1 104 32

470=1719+493

12 5640=470*12 4 19

3 104 32

940=1738+496

6

5640=940*6

4 38

6 104 32

564=1713+497

10 5640=564*10 2 13

7 104 32

1410=1757+499

4

5640=1410*4 4 57

9 104 32

（42）“会元历”[以上二术亦刘孝荣造] 日法 38700；朔余 20534[约余 53059431]；右术 778 强，34 弱； 若取 38700＝387×100，则：

100＝1×49＋3×17

基数 P 分母变形 38700＝387×100＝387×(1×49＋3×17)＝387×49＋387×17 调整 调整分母 38700＝(387＋23×17)×49＋34×17＝778×49＋34×17 朔余

778×26＋34×9＝20534

1161＝23×49＋2×17

朔余正确，还有以下拆分方法， PQ

Q

基数 P 100=173+491

387 38700=100*387 23 3

1 778 34

E D

C A

B

1290=1773+491

30

38700=1290*30 44 73

1 778 34

387=1717+492

100 38700=387*100 34 17

2 778 34

2580=17146+492 15

38700=2580*15 44 146 2 778 34

215=174+493

180 38700=215*180 14 4

3 778 34

（43）杨忠辅“统天历” 日法 12000；朔余 6368[约余 53066666；]；右术于率不合。 若取 12000＝120×100，则：

基数 P

100＝1×49＋3×17

• 35 -

“调日法”分析-石远东

分母变形 12000＝120×100＝120×(1×49＋3×17)＝120×49＋360×17 调整 调整分母 12000＝(120＋7×17)×49＋17×17＝239×49＋17×17 朔余

(120＋7×17)×26＋17×9＝6367，差 1

360＝7×49＋17

朔余 6367，不正确，还有以下拆分方法，

基数 P 100=173+491

200=176+492

300=179+493

Q

PQ

E D

C A

B

120 12000=100*120 7

60

40

12000=200*60

12000=300*40

7

7

3

6

9

1 239 17

2 239 17

3 239 17

2000=17109+493 6

12000=2000*6

13 109 3 239 17

12000=400*30

400=1712+494

30 （44）鲍瀚之“开禧历” 日法 16900；朔余 8967[约余 53059171]；右术 339 强，17 弱； 若取 16900＝169×100，则有：

12

7

4 239 17

100＝1×49＋3×17

基数 P 分母变形 16900＝169×100＝169×(1×49＋3×17)＝169×49＋507×17 调整 调整分母 16900＝(169＋10×17)×49＋17×17＝339×49＋17×17 朔余

(169＋10×17)×26＋17×9＝8967

507＝10×49＋17

若取 16900＝338×50，则有：

338＝1×49＋17×17

基数 P 分母变形 16900＝338×50＝50×(1×49＋17×17)＝50×49＋850×17 调整 调整分母 16900＝(50＋17×17)×49＋17×17＝339×49＋17×17 朔余

(50＋17×17)×26＋17×9＝8967

850＝17×49＋17

若取 16900＝1690×10，则有：

1690＝5×49＋85×17

基数 P 分母变形 16900＝1690×10＝10×(5×49＋85×17)＝50×49＋850×17 调整 调整分母 16900＝(50＋17×17)×49＋17×17＝339×49＋17×17 朔余

(50＋17×17)×26＋17×9＝8967

850＝17×49＋17

朔余正确，还有以下拆分方法， PQ

Q

基数 P 100=173+491

169 16900=100*169 10 3

1 339 17

E D

C A

B

338=1717+491

676=1734+492

50

25

16900=338*50

17 17

1 339 17

16900=676*25

17 34

2 339 17

4225=17237+494 4

16900=4225*4

19 237 4 339 17

1690=1785+495

16900=1690*10 17 85

10 （45）李德卿“淳祐历” 日法 3530；朔余 1873[约余与“崇天历”同；]；右术 71 强，3 弱； 若取 3530＝353×10，则有：

5 339 17

基数 P 分母变形 3530＝353×10＝10×(2×49＋15×17)＝20×49＋150×17

353＝2×49＋15×17

• 36 -

秦九韶调日法

150＝3×49＋3

调整 调整分母 16900＝(20＋3×17)×49＋3×17＝71×49＋3×17 朔余

(20＋3×17)×26＋3×9＝1873

朔余正确，还有以下拆分方法， Q PQ

基数 P 353=1715+492

E D C A B

10 3530=353*10 3 15 2

71 3

706=1730+494

5

3530=706*5

3 30 4

71 3

1765=1775+4910 2

3530=1765*2 3 75 10 71 3

基数 P 487=1720+493

（46）谭玉“会天历” 日法 9740；朔余 5168[约余 53059548；]；右术 196 强，8 弱； 朔余正确，还有以下拆分方法， Q PQ

E D

C A

B

20 9740=487*20 8

974=1740+496

10 9740=974*10 8

1948=1780+4912

5

9740=1948*5 8

20

40

80

3

6

196 8

196 8

12 196 8

4870=17249+4913 2

9740=4870*2 10 249 13 196 8

2435=17100+4915 4

9740=2435*4 8

100 15 196 8

（47）陈鼎“成天历” 日法 7420；朔余 3937[约余 53059299]；右术 149 强，7 弱； 朔余正确，还有以下拆分方法， Q PQ

E D

C A

基数 P 742=1735+493

10 7420=742*10 7 35

1484=1770+496

5

7420=1484*5 7 70

530=1711+497

14 7420=530*14 3 11

B

3

6

7

149 7

149 7

149 7

1060=1722+4914

7

7420=1060*7 3 22

14 149 7

3710=17175+4915 2 （48）金杨级“大明历” 日法 5230；朔余 2775[约余 53059273；案：金元二史志俱不载级术朔余数，此据赵知

7420=3710*2 7 175 15 149 7

微“重修大明历”补]；右术 105 强，5 弱； 朔余正确，还有以下拆分方法， Q PQ

基数 P 523=1725+492

10 5230=523*10 5 25

1046=1750+494

5

5230=1046*5 5 50

E D

C A

B

2

4

105 5

105 5

2615=17125+4910 2

5230=2615*2 5 125 10 105 5

2615=1776+4927

2

5230=2615*2 3 76

27 105 5

（49）赵知微“重修大明历” 日法 5230；朔余 2775；右术与前术同。 （50）耶律履“乙未历” 日法 20690；朔余 10978[约余 53059449；]；右术 416 强，18 弱； 朔余正确，还有以下拆分方法， Q PQ

E D

C A

B

基数 P 10345=17597+494

4138=17229+495

2

5

20690=10345*2 24 597 4

416 18

20690=4138*5

23 229 5

416 18

• 37 -

“调日法”分析-石远东

2069=1790+4911

10 20690=2069*10 18 90

11 416 18

10345=17548+4921 2

20690=10345*2 22 548 21 416 18

4138=17180+4922

5

20690=4138*5

18 180 22 416 18

（51）[元]郭守敬“授时历” 日法 10000；朔余 5305 秒 93[约余 53059300；案：日法 10000 于率为 202 强，6 弱；朔 余当 5306；今朔余止 5 有奇，不合强弱之率，不得为日法，故《授时术议》云：积年，日 法不用也。

若取 10000＝100×100，则有：

100＝1×49＋3×17

基数 P 分母变形 10000＝100×100＝100×(1×49＋3×17)＝100×49＋300×17 调整 调整分母 10000＝(100＋6×17)×49＋6×17＝×49＋6×17 朔余

(100＋6×17)×26＋6×9＝5306，差 1.93

300＝6×49＋6

E D

C A

B

朔余 5306，还有以下拆分方法， PQ

Q

基数 P 100=173+491

200=176+492

625=1731+492

50

16

100 10000=100*100 6

10000=200*50

6

3

6

1 202 6

2 202 6

10000=625*16

10 31

2 202 6

2000=17109+493 5

10000=2000*5

11 109 3 202 6

400=1712+494

25

10000=400*25

6

12

4 202 6

《元史·卷五十三·志第五·历二·授时历议下》末演纪三条：

其云：日法 2190 者，以强弱求之，为 44 强，2 弱；朔余 1162； 朔余 1162，还有以下拆分方法，

基数 P 219=1710+491

Q PQ

E D C A B

10 2190=219*10 2 10 1 44 2

438=1720+492

5

2190=438*5

2 20 2 44 2

1095=1750+495 2

2190=1095*2 2 50 5 44 2

730=1717+499

3

2190=730*3

1 17 9 44 2

其云：日法 8270 者，为 166 强，8 弱；朔余 4388； 朔余 4388，还有以下拆分方法， Q PQ

E D

基数 P 827=1740+493

10 8270=827*10 8 40

1654=1780+496

5

8270=1654*5 8 80

C A

B

3

6

166 8

166 8

4135=17200+4915 2

8270=4135*2 8 200 15 166 8

1654=1731+4923

5

8270=1654*5 3 31

23 166 8

4135=17151+4932 2

8270=4135*2 6 151 32 166 8

其云：日法 6570 者，为 132 强，6 弱；朔余 3486； 朔余 3486，还有以下拆分方法，

基数 P 219=1710+491

Q PQ

E D C A

B

30 6570=219*30 6 10 1 132 6

438=1720+492

15 6570=438*15 6 20 2 132 6

657=1730+493

10 6570=657*10 6 30 3 132 6

1095=1750+495 6

6570=1095*6 6 50 5 132 6

• 38 -

秦九韶调日法

1314=1760+496 5

6570=1314*5 6 60 6 132 6

此三日法并与何承天密合，言“若用日法，则如此三条也”，所以为此说者强弱率为唐

宋相傅旧法，一旦废弃恐议者非之，故反复申明以示改宪之意耳]；右术于率不合。

由此可见，秦九韶调日法与李锐调日法本质上毫无二致，亦有诸多的“于率不合”，并

且，“于率不合”的历法也是大同小异。

• 39 -

“调日法”分析-石远东

陈久金“加减调日法”分析

陈久金在“调日法研究”（[J].自然科学史研究,1984,3(3) 245-250. ）中提出：“古代历法 家一般是不能测得约余的，只能将观测资料，与以往若干历法的推算结果相比较，得出比旧 历朔余值或强或弱，再在这些历法的强弱率之间求取新的日法和朔余，即古人所说的‘写子 换母’。确定新历的日法时，往往选取两家旧历的日法分别作为强率和弱率，只需经过一步 或数步推算，便可求得新历的日法、朔余。”陈久金以周琮“明天历”和皇居卿“观天历” 经过一次加减得到姚舜辅“纪元历”为例说明了他的算法，并且认为：“其它历法在推算日 法、朔余时，也大都如此，并不需要如李锐所说的那样，利用逐步逼近法，通过数十步的演 算才能求得。”

这一算法，我们不妨称之为“加减调日法”。陈久金的“加减调日法”真的是一种完善 的方法吗？我们仍然对李锐《日法朔余强弱考》提出的 51 家历法做验证，结果列表如下：

名称

朔望月29+

陈久金“加减调日法”

1 刘歆“三统术” 2 [后汉]“四分术” 3 刘洪“乾象术” 4 韩诩“黄初术” 5 杨伟“景初术” 6 刘智“正术” 7 姜岌“三纪甲子术” 8 赵[匪攵]“玄始术”

9 何承天“元嘉术”

10 祖冲之“大明术”

11 [粱]“大同术”

12 张龙详“正光术” 13 李业兴“兴和术”

14 刘孝孙术

• 40 -

43/81

499/940

399/752

773/1457

3217/6063

2419/4559

6409/12079

47251/89052

18703/35250

不合 不合 不合 {31,26/49},{36,6383/12030} 不合 不合 {9,399/752},{41,12469/23500} 不合 {3,773/1457},{4,6409/12079}； {3,773/1457},{5,2419/4559}； {3,773/1457},{7,3217/6063} {4,6409/12079},{40,16581/31250}； {35,503/948},{39,3677/6930} {1,43/81},{7,3217/6063}； {5,2419/4559},{31,26/49}； {14,607/1144},{22,2653/5000} 不合 39769/74952 110647/208530 不合 607/1144

2090/3939

815/1536

{9,399/752},{11,815/1536}； {9,399/752},{27,4457/8400}； {9,399/752},{29,95507/180000}； {11,815/1536},{24,1613/3040}； {20,659/1242},{30,1769/3334}； {20,659/1242},{42,10267/19350}； {20,659/1242},{48,555/1046}； {23,711/1340},{32,5359/10100}； {23,711/1340},{35,503/948}； {24,1613/3040},{27,4457/8400}； {24,1613/3040},{29,95507/180000}； {26,581/1095},{31,26/49}； {26,581/1095},{50,5489/10345}；

陈久金“加减调日法”分析

{30,1769/3334},{33,1873/3530}； {30,1769/3334},{45,1873/3530}； {33,1873/3530},{42,10267/19350}； {33,1873/3530},{48,555/1046}； {42,10267/19350},{45,1873/3530}； {45,1873/3530},{48,555/1046}

155272/292635 不合 153991/290160 不合 不合 28422/53563 不合

96529/181920 同14 659/1242

15 宋景业“天保术” 16 [周]甄鸾“天和术” 17 马显“丙演元术” 18 [隋]张宾“开皇术” 19 张胄元“大业术”

20 刘焯“皇极术”

21 傅仁均“戊寅术”

6901/13006

22 南宫说“神龙术”

5306/10000 ＝2653/5000 711/1340

23 李淳风“麟德术”

1613/3040

24 僧一行“大衍术”

25 郭献之“五纪术”

同23 581/1095

26 徐承嗣“贞元术”

{1,43/81},{38,1934/3645}； {5,2419/4559},{50,5489/10345}； {14,607/1144},{23,711/1340}； {11,815/1536},{27,4457/8400}； {11,815/1536},{35,503/948}； {22,2653/5000},{47,3937/7420}； {23,711/1340},{41,12469/23500}； {31,26/49},{46,1292/2435} 不合 {8,47251/89052},{35,503/948}

{1,43/81},{10,2090/3939}； {11,815/1536},{14,607/1144}； {22,2653/5000},{24,1613/3040}； {22,2653/5000},{27,4457/8400}； {38,1934/3645},{43,199/375}； {43,199/375},{50,5489/10345} {1,43/81},{4,6409/12079}； {23,711/1340},{44,8967/16900}； {27,4457/8400},{37,14899/28080}； {28,7163/13500},{44,8967/16900}； {38,1934/3645},{46,1292/2435}； {44,8967/16900},{47,3937/7420}

{10,2090/3939},{11,815/1536}； {14,607/1144},{48,555/1046}； {20,659/1242},{35,503/948}； {22,2653/5000},{44,8967/16900}； {23,711/1340},{24,1613/3040}； {23,711/1340},{47,3937/7420}； {24,1613/3040},{32,5359/10100}； {24,1613/3040},{33,1873/3530}； {24,1613/3040},{45,1873/3530}；

• 41 -

“调日法”分析-石远东

{24,1613/3040},{46,1292/2435}； {27,4457/8400},{28,7163/13500}； {27,4457/8400},{38,1934/3645}； {27,4457/8400},{39,3677/6930}； {28,7163/13500},{42,10267/19350}； {29,95507/180000},{34,20693/39000}； {30,1769/3334},{48,555/1046}； {31,26/49},{48,555/1046}； {32,5359/10100},{47,3937/7420}； {33,1873/3530},{47,3937/7420}； {38,1934/3645},{42,10267/19350}； {39,3677/6930},{42,10267/19350}； {40,16581/31250},{41,12469/23500}； {45,1873/3530},{47,3937/7420}； {46,1292/2435},{47,3937/7420}

4457/8400

{32,5359/10100},{41,12469/23500}

{32,5359/10100},{44,8967/16900}

7163/13500 382028/720000 不合 5307/10002 ＝1769/3334 1560/2940 ＝26/49

{7,3217/6063},{10,2090/3939}

{1,43/81},{9,399/752}； {1,43/81},{11,815/1536}； {1,43/81},{14,607/1144}； {1,43/81},{20,659/1242}； {1,43/81},{23,711/1340}； {1,43/81},{26,581/1095}； {1,43/81},{35,503/948}； {1,43/81},{48,555/1046}； {9,399/752},{18,96529/181920}； {9,399/752},{43,199/375}； {11,815/1536},{18,96529/181920}； {11,815/1536},{43,199/375}； {14,607/1144},{18,96529/181920}； {14,607/1144},{43,199/375}； {18,96529/181920},{20,659/1242}； {18,96529/181920},{23,711/1340}；, {18,96529/181920},{26,581/1095}； {18,96529/181920},{35,503/948}； {18,96529/181920},{48,555/1046}； {20,659/1242},{43,199/375}； {23,711/1340},{43,199/375}； {26,581/1095},{43,199/375}； {35,503/948},{43,199/375}； {43,199/375},{48,555/1046}

27 徐昂“宣明术” 28 边冈“崇玄术” 29 王朴“钦天术”

30 王处讷“应天术”

31 吴昭素“乾元术”

• 42 -

陈久金“加减调日法”分析

32 史序“仪天术”

5359/10100

{41,12469/23500},{44,8967/16900}

33 宋行古“崇天术”

34 周琮“明天术”

35 卫朴“奉元术”

36 皇居卿“观天术” 37 姚舜辅“占天术”

38 姚舜辅“纪元术”

39 陈德一“统元术”

40 刘孝荣“乾道术”

41 刘孝荣“淳熙术”

42 刘孝荣“会元术”

43 杨忠辅“统天术”

44 鲍瀚之“开禧术” 45 李德卿“淳祐术”

46 谭玉“会天术”

5619/10590 ＝1873/3530 20693/39000

12575/23700 ＝503/948

6383/12030

14899/28080

3868/7290 ＝1934/3645 3677/6930

{26,581/1095},{46,1292/2435}

不合 {9,399/752},{14,607/1144}； {9,399/752},{24,1613/3040}； {10,2090/3939},{38,1934/3645}； {20,659/1242},{36,6383/12030}； {26,581/1095},{38,1934/3645}； {27,4457/8400},{34,20693/39000}； {36,6383/12030},{39,3677/6930} 不合 不合 {26,581/1095},{34,20693/39000}； {34,20693/39000},{36,6383/12030}

{28,7163/13500},{37,14899/28080}

{34,20693/39000},{41,12469/23500}

1591776/3000000 ＝16581/31250 299256/564000 不合 20534/38700 ＝10267/19350 6368/12000 ＝43,199/375 8967/16900

1873/3530

5168/9740 ＝1292/2435

{28,7163/13500},{29,95507/180000}

{2,499/940},{46,1292/2435}

不合 {26,581/1095},{46,1292/2435} {7,3217/6063},{20,659/1242}； {11,815/1536},{30,1769/3334}； {22,2653/5000},{42,10267/19350}； {23,711/1340},{26,581/1095}； {23,711/1340},{27,4457/8400}； {23,711/1340},{33,1873/3530}； {23,711/1340},{45,1873/3530}； {39,3677/6930},{43,199/375}

47 陈鼎“成天术”

3937/7420

2775/5230 ＝555/1046

48 金杨级“大明术”

{23,711/1340},{28,7163/13500} {9,399/752},{23,711/1340}； {14,607/1144},{24,1613/3040}； {14,607/1144},{28,7163/13500}； {14,607/1144},{35,503/948}； {24,1613/3040},{47,3937/7420}； {28,7163/13500},{47,3937/7420}； {39,3677/6930},{45,1873/3530}； {33,1873/3530},{39,3677/6930}； {35,503/948},{47,3937/7420}； {36,6383/12030},{42,10267/19350}

• 43 -

“调日法”分析-石远东

49 赵知微“重修大明术” 同48

50 耶律履“乙未术”

10978/20690 ＝5489/10345 其中的“{序号,朔余/日法},{序号,朔余/日法}”是一对算法组合。

{23,711/1340},{42,10267/19350}

计算表明：不合的是：1 刘歆“三统术”，2[后汉]“四分术”，3 刘洪“乾象术”，5 杨伟 “景初术”，6 刘智“正术”，8 赵[匪攵]“玄始术”，12 张龙详“正光术”，13 李业兴“兴和 术”，15 宋景业“天保术”，16[周]甄鸾“天和术”，17 马显“丙演元术”，18[隋]张宾“开皇 术”，21 傅仁均“戊寅术”，29 王朴“钦天术”，34 周琮“明天术”，36 皇居卿“观天术”， 37 姚舜辅“占天术”，41 刘孝荣“淳熙术”，44 鲍瀚之“开禧术”，合计 19 家。

这里还没有强调“只能用以前的日法调出当前的日法”的要求，否则，4 韩诩“黄初术”， 7 姜岌“三纪甲子术”，10 祖冲之“大明术”，20 刘焯“皇极术”，22 南宫说“神龙术”，27 徐昂“宣明术”，28 边冈“崇玄术”，32 史序“仪天术”，33 宋行古“崇天术”，45 李德卿“淳 祐术”这 10 个也是不合的。

看起来，陈久金的“加减调日法”也不靠谱。他对古人所说的“写子换母”的理解也是

不正确的；所谓“古代历法家一般是不能测得约余的”的说法恐怕也是过于武断了。

• 44 -

连分数与调日法

连分数与调日法

“三统历”如何确定 29＋43/81 为朔望月的？ 估计刘歆已经实测得朔望月平均值为 29＋5308/10000，应用缀术得到：

更相减损 商

缀术（连分数）

分母 分子

1 1 1 0

1 1 1 0

1 1 1 0

＝

2 1 1 1

2 1 1 1

7 1 1 0

＝

15 2 1 8

15 2 1 8

1 1 1 0

＝

1715 9

8

1715 9

8

1 1 1 0

＝

3217 17

9

3217 17

9

1 1 1 0

＝

4932 2617

4932 2617

8149 4326

1 1 1 0

1 1 1 0

＝

＝

8149 4326

13081 6943

13081 6943

1 1 1 0

＝

211130 11269

211130 11269

763211 405112

3 1 1 0

3 1 1 0

=

=

763211 405112

1327763 2500405

10000 5308

1

5308 4692

1

4692

616

7

616

380

1

380

236

1

236

144

1

144

92

1

92

52

1

52

40

1

40

12

3

12 4

3

4 0

1

1

2

1

15

8

17

9

32

17

49

26

81

43

130

69

211

112

763

405

2500 1327

表示为缀术（连分数）形式为： 53080/100000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,69/130,112/211,405/763,1327/2500} 为简便记，我们只给出连分数形式的结果： 53081/100000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,112/211,491/925,603/1136,2903/5469,3

506/6605,9915/18679,53081/100000}

• 45 -

é ù ê ú ë û

é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û

é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û

é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û

é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û

é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û

é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û

é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û

é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û

é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û

é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û é ù ê ú ë û

“调日法”分析-石远东

53082/100000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,112/211,155/292,887/1671,1929/3634,2

816/5305,4745/8939,26541/50000}

53083/100000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,155/292,198/373,1145/2157,1343/2530,

5174/9747,53083/100000}

53084/100000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,241/454,284/535,809/1524,2711/5107,3

520/6631,13271/25000}

53085/100000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,456/859,3235/6094,3691/6953,10617/20

000}

53086/100000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,1531/2884,1574/2965,4679/8814,10932/

20593,26543/50000}

53087/100000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,43/81,1092/2057,1135/2138,7902/14885,9037/17023

,53087/100000}

53088/100000：{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,43/81,404/761,1659/3125} 53089/100000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,43/81,232/437,275/518,507/955,10415/19618,21337/

40191,53089/100000}

增加一个精确度数量级后，43/81 始终出现，说明 43/81 是 0.5308 的最佳渐近分数值。 这个数值若按照李锐调日法， 秦九韶调日法，何承天调日法，均不能得到，只能得到

42/81≈0.518518518518519，与 43/81≈0.530864197530864 相去甚远。

再看看“四分历”是如何确定 29＋499/940 为朔望月的： 估计“四分历”已经实测得朔望月平均值为 29＋530851/1000000， 5308510/10000000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,456/859,499/940,8440/15899,8939/

16839,44196/83255,97331/183349,530851/1000000}

5308511/10000000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,499/940,15512/29221,62547/11782

4,78059/147045,999255/1882364,1077314/2029409,5308511/10000000}

5308512/10000000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,499/940,4035/7601,16639/31344,3

7313/70289,165891/312500}

5308513/10000000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,499/940,2039/3841,2538/4781,711

5/13403,16768/31587,23883/44990,40651/76577,5308513/10000000}

5308514/10000000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,499/940,1540/2901,5119/9643,665

9/12544,11778/22187,41993/79105,137757/259502,179750/338607,2654257/5000000}

5308515/10000000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,499/940,1041/1961,1540/2901,258

1/4862,73808/139037,76389/143899,302975/570734,379364/714633,1061703/2000000}

5308516/10000000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,499/940,1041/1961,42139/79380,4

3180/81341,85319/160721,128499/242062,599315/1128969,1327129/2500000}

5308517/10000000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,499/940,542/1021,1041/1961,2624/

4943,8913/16790,11537/21733,135820/255853,5308517/10000000}

5308518/10000000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,499/940,542/1021,1583/2982,6874/ 12949,8457/15931,15331/28880,23788/44811,39119/73691,62907/118502,102026/192193,16493 3/310695,431892/813583,596825/1124278,1028717/1937861,2654259/5000000}

5308519/10000000:{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,499/940,542/1021,2125/4003,2667/ 5024,7459/14051,10126/19075,68215/128501,214771/404578,282986/533079,5308519/1000000 0}

增加一个精确度数量级后，499/940 始终出现，说明 499/940 是 0.530851 的最佳渐近分

• 46 -

连分数与调日法

数值。

这个数值若按照李锐调日法， 秦九韶调日法，何承天调日法，均不能得到，只能得到

498/940≈0.529787234042553，与 499/940≈0.530851063829787 相去甚远。

因此，我认为：刘歆确实是掌握了缀术（连分数）技巧，并且在“三统历”制定中大量

运用。

在李锐“日法朔馀强弱考”中，我们先关注不合于李锐调日法的，其次是关注历法中提

出闰周数值的，我们研究对应的缀术（连分数）信息。

李锐调日法：“日法朔馀强弱考”，秦九韶调日法：以下 16 家都不合（53059027）。

名称

日法

朔余

最小约余 精度

闰周

01

02

06

[汉]刘歆“三统术”

[后汉]“四分术”

81

940

43

499

5308

530851

[晋]刘智“正术”

35250

18703

53058156

4 位

6 位

8 位

7/19

7/19

7/19

08 赵[匪攵]“玄始术”

89052

47251

5306000988

10 位 221/600

12

13

15

16

[魏]张龙详“正光术” 74952

39769

53059291279 11 位 186/505

[魏]李业兴“兴和术” 208530

110647

53060470915 11 位 207/562

[齐]宋景业“天保术” 292635

155272

53059955234 11 位 249/676

[周]甄鸾“天和术”

290160

153961

53060725117 11 位 144/391

17 马显“丙演元术”

53563

28422

5306274853

10 位 165/448

18

[隋]张宾“开皇术”

181920

96529

53061235708 11 位 158/429

22 南宫说“神龙术”

10000

5306

5306

29

[周]王朴“钦天术”

720000

382028

530555

31 吴昭素“乾元术”

2940

1560

5306

40 刘孝荣“乾道术”

3000000 1591776 530566666

41 刘孝荣“淳熙术”

564000

299256

530496

43 杨忠辅“统天术”

12000

6368

53067

4 位

6 位

4 位

9 位

6 位

5 位

54388/147653

1957926/5315507

533/1447

4078661/11073972

85199/231323

9321/25312

考察回归年：

名称

蔀法 岁余

最小约余 精度

闰周

01

02

06

[汉]刘歆“三统术”

1539

385

2501624

[后汉]“四分术”

[晋]刘智“正术”

4

150

1

37

25

24666

12

13

15

16

08 赵[匪攵]“玄始术”

7200

[魏]张龙详“正光术” 6060

1759

1477

24430555

24372937

[魏]李业兴“兴和术” 16860

4117

244187425

[齐]宋景业“天保术” 23660

5787

244590025

[周]甄鸾“天和术”

23460

5731

24428815

17 马显“丙演元术”

12992

3167

24376539

7 位

2 位

5 位

8 位

8 位

9 位

9 位

8 位

8 位

7/19

7/19

7/19

221/600

186/505

207/562

249/676

144/391

165/448

18

[隋]张宾“开皇术”

102960 25063 2434246309 10 位 158/429

22 南宫说“神龙术”

625

153

2448

4 位

54388/147653

• 47 -

“调日法”分析-石远东

29

[周]王朴“钦天术”

72000

17604 2445

31 吴昭素“乾元术”

2940

720

2448

40 刘孝荣“乾道术”

30000

7306

243533333

41 刘孝荣“淳熙术”

5640

1374

243617

43 杨忠辅“统天术”

12000

2910

2425

4 位

4 位

9 位

6 位

4 位

1957926/5315507

533/1447

4078661/11073972

85199/231323

9321/25312

朔望月，回归年的连分数中开始出现日法，朔余（岁余）的最小约余： （01）[汉]刘歆（xīn）“三统术” 日法 81；朔余 43[约余 5308]；右术于率不合； “求强弱公式”计算结果：朔余 42，－15 强，48 弱； {5308,{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,69/130,112/211,405/763,1327/2500}} 回归年 {{385/1539,2501624},{0.25016244314489928525},{0,1/3,1/4,385/1539,3466/13855,3851/1 5394,15019/60037,18870/75431,33889/135468,52759/210899,86648/346367,312703/1250000}}

（02）[后汉]“四分术” 日法 940；朔余 499[约余 530851]；右术于率不合； “求强弱公式”计算结果：朔余 498，6 强，38 弱； {530851,{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,43/81,456/859,499/940,8440/15899,8939/16839,441

96/83255,97331/183349,530851/1000000}}

回归年 {{1/4,250},{0.2500000000000},{0,1/4}} （06）[晋]刘智“正术” 日法 35250；朔余 18703[约余 53058156]；右术于率不合。 “求强弱公式”计算结果：朔余 18704，718 强，4 弱； {53058156,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,347/654,1414/2665,3175/5984,7764/14633,10939/2061

7,18703/35250,48345/91117,163738/308601,212083/399718,6526228/12300141,13264539/2500 0000}}

回归年 {{37/150,24666},{0.24666666666666666667},{0,1/4,18/73,37/150,240/973,1237/5015,1477

/5988,2714/11003,12333/50000}}

（08）[涼]赵[匪攵]“元始术” 日法 89052；朔余 47251[约余 5306000988]；右术于率不合。 “求强弱公式”计算结果：日法 89052；朔余 47252[约余 53061132]，1816 强，4 弱； {5306000988,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,867/1634,893/1683,15155/28562,16048/30245,31203

/58807,47251/89052,314709/593119,3194341/6020242,3509050/6613361,6703391/12633603,16 915832/31880567,23619223/44514170,111392724/209937247,135011947/254451417,132650024

7/2500000000}} 回归年 {{1759/7200,24430555},{0.24430555555555555556},{0,1/4,10/41,11/45,32/131,43/176,75/

307,118/483,547/2239,1759/7200,5824/23839,36703/150234,152636/624775,189339/775009,488 6111/20000000}}

（12）[後魏]张龙详“正光术” 日法 74952；朔余 39769[约余 53059291279]；右术于率不合。 “求强弱公式”计算结果：朔余 39770，1522 强，22 弱；

• 48 -

连分数与调日法

{53059291279,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,555/1046,2801/5279,36968/69673,39769/74952,911 886/1718617,951655/1793569,2815196/5305755,3766851/7099324,10348898/19504403,348135 45/65612533,149603078/281954535,184416623/347567068,1809352685/3410058147,38031219 93/7167683362,24628084643/46416158319,53059291279/100000000000}}

回归年 {{1477/6060,24372937},{0.24372937293729372937},{0,1/4,9/37,10/41,29/119,39/160,68/2

79,447/1834,515/2113,1477/6060,12331/50593,13808/56653,164219/673776,178027/730429,876 327/3595492,5435989/22303381,6312316/25898873,24372937/100000000}}

（13）[东魏]李业兴“兴和术” 日法 208530；朔余 110647[约余 53060470915]；右术于率不合。 “求强弱公式”计算结果：朔余 110648，4246 强，28 弱； {53060470915,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,1413/2663,1439/2712,17242/32495,18681/35207,91

966/173323,110647/208530,534554/1007443,2248863/4238302,2783417/5245745,7815697/1472 9792,159097357/299841585,166913054/314571377,1160575681/2187269847,10612094183/2000 0000000}}

回归年 {{4117/16860,244187425},{0.24418742586002372479},{0,1/4,10/41,11/45,21/86,2048/838

7,2069/8473,4117/16860,14420/59053,18537/75913,32957/134966,84451/345845,201859/82665 6,286310/1172501,3064959/12551666,3351269/13724167,9767497/40000000}}

（15）[北齐]宋景业“天保术” 日法 292635；朔余 155272[约余 53059955234]；右术于率不合。 “求强弱公式”计算结果：朔余 155275，5960 强，35 弱； {53059955234,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,841/1585,1708/3219,12797/24118,155272/292635,4 78613/902023,1112498/2096681,1591111/2998704,2703609/5095385,9701938/18284859,221074 85/41665103,53916908/101615065,237775117/448125363,767242259/1445991154,1005017376/ 1894116517,1772259635/3340107671,2777277011/5234224188,4549536646/8574331859,73268 13657/13808556047,26529977617/50000000000}}

回归年 {{5787/23660,244590025},{0.24459002535925612849},{0,1/4,11/45,34/139,113/462,373/1

525,859/3512,1232/5037,4555/18623,5787/23660,27703/113263,144302/589975,316307/129321 3,460609/1883188,776916/3176401,9783601/40000000}}

（16）[周]甄鸾“天和术” 日法 290160；朔余 153961[约余 53060725117]；右术于率不合。 “求强弱公式”计算结果：朔余 153962，5914 强，22 弱； {53060725117,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,2167/4084,36865/69477,39032/73561,153961/2901 60,962798/1814521,2079557/3919202,15519697/29248935,126237133/237910682,141756830/2 67159617,267993963/505070299,3089690423/5822932906,24985517347/47088533547,5306072 5117/100000000000}}

回归年 {{5731/23460,24428815},{0.24428815004262574595},{0,1/4,10/41,11/45,32/131,139/569,5

592/22891,5731/23460,240563/984751,246294/1008211,486857/1992962,733151/3001173,4885 763/20000000}}

（17）马显“丙演元术” 日法 53563；朔余 28422[约余 5306274853；右术于率不合。

• 49 -

“调日法”分析-石远东

“求强弱公式”计算结果：日法 53563；朔余 28421；1090 强，9 弱； {5306274853,{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,693/1306,719/1355,2131/4016,26291/49547,28 422/53563,83135/156673,111557/210236,1087148/2048797,2285853/4307830,3373001/6356627 ,5658854/10664457,26008417/49014455,31667271/59678912,57675688/108693367,89342959/1 68372279,325704565/613810204,415047524/782182483,5306274853/10000000000}}

回归年 {{3167/12992,24376539},{0.24376539408866995074},{0,1/4,9/37,10/41,39/160,88/361,303

/1243,391/1604,694/2847,3167/12992,3861/15839,18611/76348,41083/168535,59694/244883,33 9553/1392950,399247/1637833,1537294/6306449,1936541/7944282,11219999/46027859,24376 539/100000000}}

（18）[隋]张宾“开皇术” 日法 181920；朔余 96529[约余 53061235708]；右术于率不合。 “求强弱公式”计算结果：朔余 96528，3696 强，48 弱； {53061235708,{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,96529/181920,82821908/156087409,8291843 7/156269329,746169404/1406242041,1575257245/2968753411,3896683894/7343748863,132653 08927/25000000000}}

回归年 {{25063/102960,2434246309},{0.24342463092463092463},{0,1/4,9/37,28/115,37/152,435/

1787,907/3726,1342/5513,23721/97447,25063/102960,73847/303367,98910/406327,766217/314 7656,865127/3553983,1631344/6701639,4127815/16957261,5759159/23658900,21405292/8793 3961,27164451/111592861,48569743/199526822,1192838283/4900236589,2434246309/1000000 0000}}

（22）南宫说“神龙术” 日法 100；朔余 53 秒 6[约余 5306]；右术于率不合。 “求强弱公式”计算结果：朔余 530；10 强，30 弱； {5306,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,867/1634,893/1683,2653/5000＝5306/10000}} 回归年 {{153/625,2448},{0.2448000000000000},{0,1/4,11/45,12/49,47/192,153/625}} （29）[后周]王朴“钦天术” 日法 7200；朔余 3820 秒 28[约余 530555]；右术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 3820；140 强，20 弱； {530555,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,165/311,191/360=3820/7200,2648/4991,106111/200000}} 乘上 100 后实现转化：日法 720000；朔余 382028[约余 53059444444]； “求强弱公式”计算得：朔余 382040；14680 强，40 弱； {53059444444,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,607/1144,11559/21785,12166/22929,23725/44714,3

5891/67643,95507/180000=382028/72000,608933/1147643,704440/1327643,1313373/2475286,4 644559/8753501,33825286/63749793,545849135/1028750189,579674421/1092499982,6342593 345/11953750009,13264861111/25000000000}}

回归年 {{489/2000,2445},{0.24450000000},{0,1/4,11/45,89/364,100/409,489/2000}} （31）吴昭素“乾元术” 日法 2940；朔余 1560[约余 5306]；右术 60 强，弱空； “求强弱公式”计算得：朔余 1560；60 强，0 弱； {5306,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49=1560/2940,867/1634,893/1683,2653/5000}}

• 50 -

连分数与调日法

回归年 {{12/49,2448},{0.24489795918367346939},{0,1/4,11/45,12/49,47/192,153/625}} （40）刘孝荣“乾道术” 日法 30000；朔余 15917 秒 76[约余 530566666]；右术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 15918；606 强，18 弱； {530566666,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,217/409,243/458,946/1783,1189/2241,4513/8506,5702

/10747,10215/19253,15917/30000,26132/49253,1061197/2000120,6393314/12049973,26634453/ 50200012,59662220/112449997,265283333/500000000}}

乘上 100 后实现转化：日法 3000000；朔余 1591776[约余 530592]； “求强弱公式”计算得：朔余 1591836；61212 强，36 弱； {530592,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,529/997,2142/4037,4813/9071,16581/31250=1591776/300

0000}}

回归年 {{3653/15000,243533333},{0.24353333333333333333},{0,1/4,9/37,19/78,47/193,113/464,3

86/1585,499/2049,885/3634,1384/5683,2269/9317,3653/15000,46105/189317,49758/204317,145 621/597951,341000/1400219,3214621/13199922,6770242/27800063,9984863/40999985,467096 94/191800003,243533333/1000000000}}

（41）“淳熙术” 日法 5640；朔余 2992 秒 56[约余 530496]；右术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 2992；104 强，32 弱； {530496,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,87/164,374/705=2992/5640,1583/2984,8289/15625}} 乘上 100 后实现转化：日法 564000；朔余 299256[约余 53059504]； “求强弱公式”计算得：朔余 299265[约余 530595744]；强 11505，15 弱； {530595744,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,633/1193,659/1242,5905/11129,12469/23500=299256/ 564000,30843/58129,166684/314145,364211/686419,530895/1000564,895106/1686983,1426001 /2687547,16581117/31250000}}

回归年 {{229/940,243617},{0.24361702127659574468},{0,1/4,9/37,10/41,19/78,105/431,124/509,2

29/940,12032/49389,12261/50329,24293/99718,36554/150047,243617/1000000}}

（43）杨忠辅“统天术” 日法 12000；朔余 6368[约余 53067]；右术于率不合。 “求强弱公式”计算得：朔余 6367；239 强，17 弱； 53067/100000{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,173/326,199/375=6368/12000,372/701,1315/2

478,1687/3179,6376/12015,8063/15194,22502/42403,53067/100000}

530667/1000000{0,1,1/2,8/15,9/17,17/32,26/49,173/326,199/375=6368/12000,4153/7826,85

05/16027,55183/103988,118871/224003,530667/1000000}

回归年 {{97/400,2425},{0.242500000000},{0,1/4,8/33,97/400}}

适当扩大搜索范围，以下 12 家是合于率的（准确约余：53059027）：

名称

日法 朔余 约余 精度 闰周

03 刘洪乾象术

1457

773

530542

6 位

04 韩诩黄初术

12079 6409 53059028 8 位

05 杨伟景初术

4559

2419 5305988

7 位

7/19

7/19

7/19

• 51 -

“调日法”分析-石远东

07 姜岌三纪术

6063

3217 5305954

09 何承天元嘉术 752

补 1 九执术

703

399

373

530585

530583

10 祖冲之大明术 3939

2090 5305915

11

[粱]大同术

14 刘孝孙术

1536

1144

815

607

5305989

5305944

7 位

6 位

6 位

7 位

7 位

7 位

7/19

7/19

7/19

144/391

228/619

151/410

19 张胄元大业术 同 14

20 刘焯皇极术

1242

659

5305958

7 位

249/676

21 傅仁均戊寅术 13006 6901 53060126 8 位 考察回归年： 名称

蔀法 岁余

约余

03 刘洪乾象术

589

04 韩诩黄初术

05 杨伟景初术

07 姜岌三纪术

4883

1843

2451

09 何承天元嘉术 304

补 1 九执术

13357

10 祖冲之大明术 39491

11

[粱]大同术

39616

145

1205

455

605

75

3295

9589

9681

246179

2467745

24688

246838

24671

24668713

14 刘孝孙术

42640

10363

243034709

19 张胄元大业术 同 14

249/676

精度 闰周

6 位

7 位

5 位

6 位

5 位

8 位

7/19

7/19

7/19

7/19

7/19

7/19

2428148185 10 位 144/391

244370961

9 位

9 位

228/619

151/410

20 刘焯皇极术

466440 114065 2445437784 10 位 249/676

21 傅仁均戊寅术 9464

2315

24461115

8 位

249/676

（03）刘洪“乾象历” 日法 1457；朔余 773[约余 530542]；右术 28 强，5 弱； {530542,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,139/262,165/311,304/573,773/1457,1077/2030,1850/3487,

10327/19465,12177/22952,22504/42417,34681/65369,265271/500000}}

回归年 {{145/589,246179},{0.24617996604414261460},{0,1/4,16/65,145/589,306/1243,451/1832,3

012/12235,3463/14067,34179/138838,106000/430581,246179/1000000}}

（04）[魏]韩诩“黄初历” 日法 12079；朔余 6409[约余 53059028]；右术 242 强，13 弱 {53059028,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,477/899,503/948,980/1847,1483/2795,2463/4642,6409/ 12079,66553/125432,538833/1015535,2221885/4187572,2760718/5203107,13264757/25000000 }}

回归年 {{1205/4883,2467745},{0.24677452385828384190},{0,1/4,19/77,134/543,153/620,1205/48 83,1358/5503,2563/10386,3921/15889,6484/26275,16889/68439,40262/163153,137675/557898,1 77937/721051,493549/2000000}} （05）杨伟“景初历” 日法 4559；朔余 2419[约余 5305988]；右术 92 强，3 弱； {5305988,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,789/1487,815/1536,1604/3023,2419/4559,6442/12141,15

303/28841,52351/98664,120005/226169,172356/324833,1326497/2500000}}

• 52 -

连分数与调日法

回归年 {{455/1843,24688},{0.24688008681497558329},{0,1/4,19/77,20/81,79/320,99/401,178/721,

455/1843,1543/6250}}

（07）[后秦]姜岌“三纪甲子元历” 日法 6063；朔余 3217[约余 5305954]；右术 122 强，5 弱； {5305954,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,633/1193,1292/2435,1925/3628,3217/6063,5142/9691,23

785/44827,124067/233826,1264455/2383087,2652977/5000000}}

回归年 {{605/2451,246838},{0.24683802529579763362},{0,1/4,19/77,20/81,39/158,605/2451,3669

/14864,4274/17315,7943/32179,123419/500000}}

（09）[宋]何承天“元嘉历” 日法 752；朔余 399[约余 530585]；右术 15 强，1 弱； {530585,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,373/703,399/752,6358/11983,6757/12735,19872/37453,10

6117/200000}} 回归年 {{75/304,24671},{0.24671052631578947368},{0,1/4,18/73,19/77,56/227,75/304,1481/6003,

1556/6307,7705/31231,24671/100000}}

（补 1）九执术 朔望月 373/703=494209/33041，回归年 3295/13357 {530583,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,347/654,373/703,3331/6278,7035/13259,172171/324494,1

79206/337753,530583/1000000}}

回归年 {{3295/13357,24668713},{0.24668713034364003893},{0,1/4,18/73,19/77,37/150,56/227,93

/377,149/604,242/981,3295/13357,52962/214693,215143/872129,913534/3703209,1128677/4575 338,3170888/12853885,4299565/17429223,24668713/100000000}}

（10）祖冲之“大明历” 日法 3939；朔余 2090[约余 5305915]；右术 79 强，4 弱； {5305915,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,503/948,529/997,1561/2942,2090/3939,5741/10820,1357

2/25579,19313/36399,52198/98377,71511/134776,123709/233153,1061183/2000000}}

回归年 {{9589/39491,2428148185},{0.24281481856625560254},{0,1/4,8/33,17/70,76/313,169/696,

245/1009,1394/5741,1639/6750,9589/39491,87940/362169,97529/401660,185469/763829,65889 44/27135675,13363357/55035179,19952301/82170854,232838668/958914573,485629637/20000 00000}}

（11）[粱]“大同历” 日法 1536；朔余 815[约余 5305989]；右术 31 强，1 弱； {5305989,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,789/1487,815/1536,5679/10703,17852/33645,41383/779 93,59235/111638,278323/524545,894204/1685273,1172527/2209818,2066731/3895091,5305989/

10000000}} 回归年 {{9681/39616,244370961},{0.24437096122778675283},{0,1/4,10/41,11/45,65/266,76/311,3

69/1510,1552/6351,8129/33265,9681/39616,17810/72881,27491/112497,622612/2547815,65010 3/2660312,1272715/5208127,4468248/18284693,5740963/23492820,10209211/41777513,26159 385/107047846,36368596/148825359,244370961/1000000000}}

• 53 -

“调日法”分析-石远东

（14）刘孝孙术 日法 1144；朔余 607[约余 5305944；]；右术 23 强，1 弱； {5305944,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,581/1095,607/1144,82526/155535,83133/156679,165659

/312214,248792/468893,663243/1250000}}

回归年 {{10363/42640,243034709},{0.24303470919324577861},{0,1/4,8/33,9/37,26/107,35/144,61

/251,96/395,157/646,567/2333,9796/40307,10363/42640,20159/82947,30522/125587,294857/121 3230,3273949/13471117,3568806/14684347,10411561/42839811,243034709/1000000000}}

（19）张胄元“大业历” 日法 1144；朔余 607；右术与刘孝孙术同。 （20）刘焯“皇极历” 日法 1242；朔余 659[约余 5305958]；右术 25 强，1 弱； {5305958,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,633/1193,659/1242,32265/60809,226514/426905,485293

/914619,2652979/5000000}}

回归年 {{22813/93288,2445437784},{0.24454377840665466084},{0,1/4,11/45,45/184,56/229,437/

1787,493/2016,930/3803,21883/89485,22813/93288,386891/1582093,1183486/4839567,5120835 /20940361,98479351/402706426,103600186/423646787,305679723/1250000000}}

（21）[唐]傅仁均“戊寅历” 日法 13006；朔余 6901[约余 53060126]；右术 263 强，7 弱； {53060126,{0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,971/1830,997/1879,1968/3709,6901/13006,36473/6873 9,43374/81745,383465/722699,426839/804444,810304/1527143,2857751/5385873,26530063/50 000000}}

回归年 {{2315/9464,24461115},{0.24461115807269653423},{0,1/4,11/45,23/94,34/139,227/928,26

1/1067,2315/9464,2576/10531,10043/41057,12619/51588,35281/144233,118462/484287,489222 3/20000000}}

显然，合于率的情形没有例外，不再一一罗列。 至于其它约余精确度的讨论，我们另文叙述。

• 54 -

如何调日法

如何调日法？

在中国古代，如何调日法？如何编制农历历法？ 相信古人已经知道下面的公式： 闰周＝(365＋斗分/纪法)÷(29＋朔余/日法)－12 因此，古代制定历法可能的方法是： （1）实测日法、朔余，闰周，依此推出纪法、斗分； （2）实测纪法、斗分，闰周，依此推出日法、朔余； （3）实测纪法、斗分，日法、朔余，依此推出闰周； 具体的选择，那是因人而异了。据我考证，按照是否“使用”闰周，可粗略地分为两大

类型（历法的编号、名称来自李锐“日法朔馀强弱考”）：

（一）使用闰周的，又可分为两类： （1）神秘派：这要从古六历说起：黄帝、颛顼、夏、殷、周、鲁，这是春秋战国时期， 以及秦朝时期制定的六种历法，其特点是以 365+1/4 日（分母中有 4，故又称为四分历）为 一回归年，29+499/940（≈29.530851）日为一朔望月，取 19 年置 7 闰月（7/19≈0.3684210526） 为一闰周。

368,{0,1/2,1/3,3/8,4/11,7/19,46/125} 神秘派最主要的特征是选择“会数四十七”和“十九年七闰”作为基本参数；其数据往

往显得牵强附会，故作神秘。

名称

朔望月 29+ 最小约余 回归年 365+ 最小约余 闰周

刘歆三统术

43/81

5308

385/1539

2501624

[后汉]四分术

499/940

530851

1/4

25

刘洪乾象术

韩诩黄初术

773/1457

530542

145/589

246179

6409/12079

53059028 1205/4883

2467745

杨伟景初术

2419/4559

5305988

455/1843

刘智正术

18703/35250 53058156 37/150

24688

24666

姜岌三纪术

3217/6063

5305954

605/2451

246838

何承天元嘉术 399/752

530585

75/304

24671

7/19

7/19

7/19

7/19

7/19

7/19

7/19

7/19

1

2

3

4

5

6

7

9

373/703

补 1 九执术 若将“三统术”的 43/81 看作为 2021/3807，“四分术”的 1/4 看作为 95/380，“正术” 的 37/150 看作为 703/2850，“九执术”的 373/703 看作为 494209/33041，则回归年分母都是朔 望月日法×19÷47；有了这个认识，即可将朔望月和回归年的分母统一起来：

24668713 7/19

3295/13357

530583

1

2

3

4

5

6

7

9

名称

日法

纪法

统一日法 朔余 岁余 最小闰周余

刘歆三统术

3807＝47×81

1539＝81×19

[后汉]四分术

940＝47×20

380＝20×19

1539

940

817

499

385

235

刘洪乾象术

1457＝47×31

589＝31×19

27683

14687

6815

368

368

368

韩诩黄初术

12079＝47×257 4883＝257×19

229501

121771 56635 368

杨伟景初术

4559＝47×97

1843＝97×19

86621

45961

21385 368

刘智正术

35250＝47×750 14250＝750×19 35250

18703

8695

368

姜岌三纪术

6063＝47×129

2451＝129×19

115197

61123

28435 368

何承天元嘉术 752＝47×16

304＝16×19

14288

补 1 九执术

33041＝47×703 13357＝703×19 13357

7581

7087

3525

3295

368

368

这种考虑，应该是以后将朔望月和回归年的分母统一起来的基础。 这些历法中，由于闰周是固定的，因此，实测数据选择回归年或者朔望月之一即可。至

• 55 -

“调日法”分析-石远东

于具体的选择，可按照最小约余考虑：

实测回归年的有：02[后汉]“四分历”，03 刘洪“乾象历”，05 杨伟“景初历”，06[晋]

刘智“正历”，07[后秦]姜岌“三纪甲子元历”，09[宋]何承天“元嘉历”；

实测朔望月的有：01[汉]刘歆“三统历”，03 刘洪“乾象历”，09[宋]何承天“元嘉历”，

补 1“九执历”；

04[魏]韩诩“黄初历”就难以判断，估计是实测朔望月。 关于闰月的设置，闰月一般是放在十二月，直到汉武帝太初元年（公元前 104 年）的《太

初历》规定：以没有中气的月份为闰月；

（2）实测派：其数据大都是根据实测数值得到的平均值；

名称

朔望月29+

最小约余

回归年 365+ 最小约余

8 赵[匪攵]玄始术 47251/89052

5306000988

1759/7200

24430555

10 祖冲之大明术

2090/3939

5305915

9589/39491

2428148185

11 [粱]大同术

815/1536

5305989

9681/39616

244370961

12 张龙详正光术

39769/74952

53059291279 1477/6060

24372937

13 李业兴兴和术

110647/208530 53060470915 4117/16860

244187425

14 刘孝孙术

607/1144

5305944

10363/42640

243034709

15 宋景业天保术

155272/292635 53059955234 5787/23660

244590025

16 [周]甄鸾天和术 153991/290160 53060725117 5731/23460

24428815

补 2 董峻甲寅术

146595/276284 53059532944 5461/22338

244471304

补 3 孟宾术

503/948

5305907

11945/48901

2442690333

17 马显丙演元术

28422/53563

5306274853

3167/12992

24376539

18 [隋]张宾开皇术 96529/181920

53061235708 25063/102960

2434246309

19 张胄元大业术 同16天和术

20 刘焯皇极术

659/1242

5305958

114065/466440 2445437784

21 傅仁均戊寅术

6901/13006

53060126

2315/9464

24461115

其中刘焯“皇极术”：11406.5/46644＝114065/466440＝22813/93288。 亦可将朔望月和回归年的分母统一起来： 朔余

统一日法

名称

岁余

闰周 最小闰周余

8 赵[匪攵]玄始术

53431200

28350600 13053539 221/600 368333

10 祖冲之大明术

11 [粱]大同术

1540149

950784

817190

504485

373971 144/391 368286

232344 228/619 368336

12 张龙详正光术

37850760

20083345

9225342 186/505 368316

13 李业兴兴和术

117193860

62183614 28617267 207/562 368327

14 刘孝孙术

469040

248870

113993 151/410 36829

15 宋景业天保术

197821260 104963872 48385107 249/676 368343

16 [周]甄鸾天和术

113452560

60210481 27715116 144/391 368286 同 10

补 2 董峻甲寅术

181518588

96312915 44376086 242/657 36834

补 3 孟宾术

586812

311357

143340 228/619 368336 同 11

17 马显丙演元术

23996224

12733056

5849449 165/448 368303

18 [隋]张宾开皇术

78043680

41410941 18997754 158/429 368298

19 张胄元大业术 同 16 天和术

20 刘焯皇极术

839592

445484

205317 249/676 368343 同 15

21 傅仁均戊寅术

8792056

4665076

2150635 249/676 368343 同 15

• 56 -

如何调日法

只是统一后的日法确实太大了，恐怕不利于计算。但这导致人们认识到：日法应该统一。 以上历法仍然讨论闰周，但是，不再拘泥于“十九年七闰”的古训，而是做了所谓的“破

章”。这就导致以后的历法不再关心闰周的讨论了。

一个疑问是：这里的闰周是实测出来的，还是计算出来的？ 从朔望月的最小约余，回归年的最小约余，以及最小闰周余的数值来分析，应该是测定 闰周的值比较合理，因为它只需要六位精确度即可（刘孝孙术和董峻甲寅术只有五位精确 度），缀术（连分数）结果如下：

368333,{0,1/2,1/3,3/8,4/11,7/19,214/581,221/600,1761/4781,3743/10162,5504/14943,14751/

40048,20255/54991,116026/315003,368333/1000000}

368286,{0,1/2,1/3,3/8,4/11,7/19,137/372,144/391,2009/5455,2153/5846,6315/17147,8468/22

993,184143/500000}

368336,{0,1/2,1/3,3/8,4/11,7/19,221/600,228/619,23021/62500} 368316,{0,1/2,1/3,3/8,4/11,7/19,179/486,186/505,737/2001,923/2506,3506/9519,92079/2500

00}

368327,{0,1/2,1/3,3/8,4/11,7/19,200/543,207/562,1442/3915,1649/4477,16283/44208,17932/

48685,70079/190263,368327/1000000}

36829,{0,1/2,1/3,3/8,4/11,7/19,144/391,151/410,295/801,1036/2813,1331/3614,5029/13655,

6360/17269,36829/100000}【为什么不取 295/801？这与刘孝孙的闰周取为 36829 有关。】

368343,{0,1/2,1/3,3/8,4/11,7/19,242/657,249/676,2732/7417,11177/30344,36263/98449,474

40/128793,368343/1000000}

36834,{0,1/2,1/3,3/8,4/11,7/19,235/638,242/657,477/1295,1196/3247,18417/50000} 368303,{0,1/2,1/3,3/8,4/11,7/19,158/429,165/448,1313/3565,1478/4013,5747/15604,30213/8

2033,368303/1000000}

368298,{0,1/2,1/3,3/8,4/11,7/19,151/410,158/429,2205/5987,2363/6416,9294/25235,11657/3

1651,184149/500000}

（二）“不用”闰周的，它们的朔望月和回归年的分母都是统一的；

名称

朔望月29+

最小约余 回归年 365+ 最小约余

22 南宫说神龙术

5306/10000

5306

153/625

2448

23 李淳风麟德术

711/1340

530597

328/1340

24477

24 僧一行大衍术

1613/3040

5305921

743/3040

24440789

25 郭献之五纪术

同23麟德术

26 徐承嗣贞元术

581/1095

5305936

258/1095

235616

27 徐昂宣明术

28 边冈崇玄术

29 王朴钦天术

4457/8400

53059523

2055/8400

244642

7163/13500

53059259

3301/13500

244518518

382028/720000

530555

17604/72000 2445

30 王处讷应天术

5307/10002

53059388

2445/10002

2444511

31 吴昭素乾元术

1560/2940

5306

720/2940

2448

补 4 王睿致道术

5619/10590

5305949

2591/10590

244664778

补 5 王睿术

962/1700

565882

416/1700

244705

32 史序仪天术

5359/10100

530594059

2470/10100

244554

补 6 张奎乾兴术

4249/8008

5305944

1958/8008

2445

33 宋行古崇天术

5619/10590

5305949

2590/10590

24457

34 周琮明天术

20693/39000

5305897435 9500/39000

2435

• 57 -

“调日法”分析-石远东

35 卫朴奉元术

12575/23700

5305907

5773/23700

243586497

36 皇居卿观天术

6383/12030

53059019

2930/12030

2435577

37 姚舜辅占天术

14899/28080

530591168

6840/28080

2435

38 姚舜辅纪元术

3868/7290

5305898

1776/7290

243621

39 陈德一统元术

3677/6930

53059163

1688/6930

2435786

40 刘孝荣乾道术

1591776/3000000 530566666

7306/30000

243533333

41 刘孝荣淳熙术

299256/564000

530496

1374/5640

243617

42 刘孝荣会元术

20534/38700

530594315

9432/38700

2437209

43 杨忠辅统天术

6368/12000

53067

2910/12000

2425

44 鲍瀚之开禧术

8967/16900

530591715

4108/16900

243076

45 李德卿淳祐术

1873/3530

5305949

857/3530

2427762

46 谭玉会天术

47 陈鼎成天术

5168/9740

3937/7420

5305954

2366/9740

2429158

53059299

1801/7420

24272237

48 [金]杨级大明术

2775/5230

5305927

1274/5230

2435946

49 赵知微重修大明术 同48大明术

50 耶律履乙未术

10978/20690

53059449

5040/20690

2435959

51 [元]郭守敬授时术

530593/10000

530593

2425/10000

2425

52 [元]郭守敬授时术

1162/2190

53 [元]郭守敬授时术

4388/8270

54 [元]郭守敬授时术

3486/6570

放弃

放弃

放弃

【编者注： [日]薮内清《中国の天文历法》345 页的数据“153991/290160”应该是 153961/290160。 《中国古代历法》125 页 20“大同术”的纪日应该是 14469521；23“天和术”的朔余 应该是 153961；（崔振华，李东生，新华出版社，1993 年）。在125 页补充 25 董峻郑元伟“甲 寅术”。

《中国古代数理与天文学探析》（曲安京，纪志刚，王荣彬，西北大学出版社，1994 年）

154－156 页有更多的中国古代历法参数可资参考。】

名称

闰周

最小闰周余

22 南宫说神龙术

54388/147653

36835011818

23 李淳风麟德术

14576/39571

36835056

24 僧一行大衍术

33067/89773

3683401468

25 郭献之五纪术

同 23 麟德术

26 徐承嗣贞元术

11901/32336

368041811

27 徐昂宣明术

91371/248057

36834679126

28 边冈崇玄术

146845/398663

368343688779

29 王朴钦天术

1957926/5315507

36834228606979

30 王处讷应天术

7253/19691

368340866

31 吴昭素乾元术

533/1447

368348

补 4 王睿致道术

154557/309701

499052311745

补 5 王睿术

4145/8286

50024137

32 史序仪天术

109862/298259

36834429137

补 6 张奎乾兴术

87106/236481

3683424884

33 宋行古崇天术

115192/312729

36834447716

• 58 -

如何调日法

34 周琮明天术

424184/1151693

368313430749

35 卫朴奉元术

257773/699875

36831291302

36 皇居卿观天术

130304/355253

366792117167

37 姚舜辅占天术

9852/26749

368312834

38 姚舜辅纪元术

39645/107639

3683144585

39 陈德一统元术

75374/204647

36831226453

40 刘孝荣乾道术

4078661/11073972 3683105754647

41 刘孝荣淳熙术

85199/231323

36831184101

42 刘孝荣会元术

30066/81631

3683159583

43 杨忠辅统天术

9321/25312

36824431

44 鲍瀚之开禧术

183804/499067

368295238915

45 李德卿淳祐术

38391/104243

36828372168

46 谭玉会天术

1605/4358

3682882

47 陈鼎成天术

26899/73039

3682826982

48 [金]杨级大明术

56884/154445

3683123442

49 赵知微重修大明术 同 48 大明术

50 耶律履乙未术

112517/305494

3683116526

51 [元]郭守敬授时术

1208376/3281177

3682751646741

52 [元]郭守敬授时术

53 [元]郭守敬授时术

54 [元]郭守敬授时术

放弃

放弃

放弃

这些闰周的数值是如何得到的？我认为：这样高精度的闰周数值，不可能是闰周的实测 数值。它们已经脱离了“十九年七闰”旧框框，亦与何承天术无关，而是得益于朔望月和回 归年实测数值精确度的提高，根据朔望月和回归年的实测数值，应用“缀术（连分数）”方 法得到朔望月和回归年的分数表达式，再根据下面公式计算即可：

闰周＝回归年÷朔望月－12。 所谓“不用”闰周，并非是不能计算，而是由于闰周只是一个导出数值，不再需要特别

强调了。

1 日＝24×60×60＝86400 秒； 回归年：5×60×60＋48×60＋40＝20920 秒；20920÷86400＝0.2421296296296…… 朔望月：12×60×60＋44×60＋3＝45843 秒；45843÷86400＝0.5305902777777…… 29×24×60×60＋20920＝2526520 秒 365×24×60×60＋45843＝31581843 秒 2526520÷31581843＝0.079999131146336203368498792169919 回归年，朔望月精确值的连分数： {a=0.2421296296296,b=ContinuedFraction[a]};Convergents[b] {0,1/4,7/29,8/33,23/95,100/413,423/1747,523/2160} {a=0.5305902777777,b=ContinuedFraction[a]};Convergents[b] {0,1,1/2,8/15,9/17,26/49,477/899,503/948,980/1847,1483/2795,2463/4642,6409/12079,8872/

16721,15281/28800}

闰周精确值：31581843/2526520－12＝0.5001357598594 不过，闰周的精确度与朔望月、回归年的精确度毫无关系，比如说，王睿的两个历法就

是个例外：

• 59 -

“调日法”分析-石远东

名称

朔望月29+ 回归年 365+

朔望月

回归年

闰周近似值

补 4 王睿致道术 2591/10590 5619/10590

29.5305949008 365.4990523117 0.499052312

补 5 王睿术

416/1700

962/1700

29.5658823529 365.5002413709 0.500241371

• 60 -

校對記錄

• 2026-05-07 確認錯誤：文中將《宋史·志第二十七·律历七》與《宋史·志第二十九·律历九》都當作直接記載「調日法」歷史文獻，但所引內容其實主要是在論日法、朔策與強弱率的推算，並未見明確以「调日法」作為專名；若作為“調日法文獻”定性，屬於過度歸類。 → 正確：該段確實把《宋史·志第二十七·律历七》與《宋史·志第二十九·律历九》作為討論「調日法」的相關史料，但文字表述偏向以這些文獻所載的日法、朔策、強弱率等內容來重建調日法，並未明確把原始文獻中的專名直接等同