天元術

天元術

概述

天元術是中國古代數學中的一項重要代數學方法，是建立高次方程的系統性技術。「天元」相當於現代數學中的未知數 $x$，「立天元一為某某」即相當於現代數學中的「設某某為 $x$」。此方法運用特定的文字符號表示方程的正次冪與負次冪，透過多項式運算將實際問題轉化為可解的方程。天元術的出現使中國古代數學得以處理複雜的高次方程問題，在數學史上具有里程碑意義。

歷史淵源

天元術的起源可追溯至北宋時期。中國數學史上最早創立天元概念的是北宋平陽人蔣周所著的《益古集》。此後，博陸人李文一撰《照膽》、鹿泉人石信道撰《鈐經》、平水人劉汝諧撰《如積釋鎖》、處州人李思聰撰《洞淵九容》等著作相繼問世，使天元術的概念逐漸為數學界所知。

李冶在東平獲得劉汝諧所撰《如積釋鎖》一書，書中創造性地運用十九個單字來表示未知數 $x^9$ 至 $x^{-9}$ 的各個冪次，由高而低依次為：仙、明、霄、漢、壘、層、高、上、天、人、地、下、低、減、落、逝、泉、暗、鬼。其中「天」位於中央，「人」代表天元（即 $x^0$），「天」以上的文字表示正次冪，「人」以下的文字表示負次冪。最初的天元術採「立天元在上」的次序，其後太原人彭澤彥提出不同見解，改以「天元在下」排列。

元代數學家王恂廣泛使用天元術解決高次方程問題，其著名的授時曆中便運用天元術建立並求解四次多項式方程 $x^4 + 14566.5624x^2 - 1804707.859375x + 14823.0625 = 0$。

遺憾的是，《益古集》、《照膽》、《鈐經》、《如積釋鎖》、《洞淵九容》等早期天元術著作今已失傳，目前僅能透過李冶與朱世傑的著作窺見其基本面貌。

主要內容

天元術的核心概念

天元術的基本原理是先根據問題設置未知數，列出兩個相等的多項式，再進行多項式運算，最終列出有待求解的方程。其核心思想是將實際應用問題轉化為代數方程來求解。

天元術中，「元」字標記在一次項係數旁，常數項旁則記「太」字。方程的排列方式依「天元在上」或「天元在下」而有所不同：

《測圓海鏡》式（天元在上）：「元」字以上的係數表示各正次冪，「元」以下的係數表示常數項及各負次冪。例如方程 $-x^2 - 680x + 96000 = 0$ 可表示為以「元」為中心的算籌排列。

《益古演段》式（天元在下）：「元」以下的係數表示各正次冪，「元」以上的係數表示常數項及各負次冪。例如方程 $3x^2 + 210x - 20325 = 0$，其中「太」代表常數項，算籌打斜線表示該項為負數。

天元術與阿拉伯代數之比較

天元術與阿拉伯代數虽功用相似，但方法迥異。天元術能求解高次方程，而阿拉伯代數僅能處理一次與二次方程。此外，天元術在解根時只求正根，阿拉伯代數解二次方程則可得二根。兩種體系各自獨立發展，代表了東西方數學的不同路徑。

相關典籍

典籍	作者	時代	主要貢獻
《益古集》	蔣周	北宋	最早創立天元概念（原書已佚）
《測圓海鏡》	李冶	金代	系統使用天元在上式天元術
《益古演段》	李冶	金代	改用天元在下式天元術
《算學啟蒙》	朱世傑	元代	介紹天元術基礎應用
《四元玉鑒》	朱世傑	元代	發展多元高次方程的天元術

文化影響

天元術的發展對中國數學影響深遠，它標誌著中國古代數學從幾何問題求解向代數方程求解的轉變，為後世高次方程數值解法的發展奠定了基礎。朱世傑在《四元玉鑒》中更將天元術推廣至四元（即四個未知數）情形，創立了四元術，進一步拓展了高次方程組的求解能力。

天元術的記數方式與符號系統反映了中國古代數學的獨特思维方式，其「立天元」的方法論對理解中國傳統數學的邏輯結構具有重要價值。儘管原創著作多已散佚，李冶與朱世傑的留存作品仍為後世研究天元術提供了珍貴的第一手資料。

來源

• 吳文俊主編《中國數學史大系》第六卷，第三編第三節《解高次方程》，186-193頁
• 吳文俊主編《中國數學史大系》第六卷，35-43頁
• 朱世傑原著，李兆華校正《四元玉鑒》，148頁，科學出版社，2007，ISBN 978-7-03-020112-6
• 錢寶琮《金元之際數學之發展》，《李儼·錢寶琮科學史全集》卷9，340頁

校對記錄

• 2026-05-02 格式校正：1 段
• 2026-05-04 確認錯誤：將天元術描述為「用特定的文字符號表示方程的正次冪與負次冪」過於不準確；天元術本質上是以算籌表示一元高次方程的排列法，早期並非通行的字母符號系統。 → 正確：天元術主要是用算籌/天元位表示一元高次方程的各項係數與次序，並非以通行字母符號系統來表示正負次冪。
• 2026-05-04 確認錯誤：「中國數學史上最早創立天元概念的是北宋平陽人蔣周所著的《益古集》」屬明顯可疑/錯誤表述；天元術通常歸功於李冶系統化發展，將「最早創立」直接指給《益古集》與蔣周不符合常見數學史說法。 → 正確：天元術的系統化發展通常歸功於李冶；將『最早創立天元概念』直接指稱蔣周與《益古集》並不符合一般數學史表述。
• 2026-05-04 確認錯誤：李冶、朱世傑之外的多位人物與書名（如《照膽》《鈐經》《如積釋鎖》《洞淵九容》）的列舉方式很可能有誤或混雜，且文中把這些書都說成「天元術著作」缺乏可靠對應，存在張冠李戴風險。 → 正確：所列人物、書名中確有混雜與可疑之處，且把這些著作一概稱為天元術著作並不嚴謹。
• 2026-05-04 確認錯誤：「李冶在東平獲得劉汝諧所撰《如積釋鎖》一書」的地點與人物關係缺乏常見史料支持，且後文關於十九個單字表示 $x^9$ 至 $x^{-9}$ 的敘述過於具體，疑似把不同數學傳統或後世整理內容混為一談。 → 正確：『李冶在東平獲得劉汝諧所撰《如積釋鎖》』及其後述十九個單字表示冪次的說法，皆缺乏可靠通行史料支撐，且表述過度具體。
• 2026-05-04 確認錯誤：「天元術中，『元』字標記在一次項係數旁，常數項旁則記『太』字」這種說法不精確；天元術的表示法主要是以「天元」「太」「上」「下」等標記方程各項位置與次序，不宜簡化成『一次項係數旁』。 → 正確：天元術的表示法不是簡化成『元字標記在一次項係數旁、常數項旁記太字』即可概括；其核心是以『天元』『太』『上』『下』等記號標示各項位置與次序。
• 2026-05-04 確認錯誤：把《測圓海鏡》歸為「天元在上」、《益古演段》歸為「天元在下」的二分法過於簡化，且《益古演段》本身的史料歸屬與保存情況在此文中未交代清楚，容易造成誤導。 → 正確：將《測圓海鏡》概括為『天元在上』、《益古演段》概括為『天元在下』過於簡化；不同著作的傳承與書寫方式需分別考察。
• 2026-05-04 確認錯誤：「天元術與阿拉伯代數僅能處理一次與二次方程」屬明顯錯誤；阿拉伯代數並非只能處理一次、二次方程，尤其在後世發展中也處理更高次問題。 → 正確：阿拉伯代數並不僅能處理一次與二次方程，後世亦發展出更高次問題的處理方法。
• 2026-05-04 確認錯誤：「天元術在解根時只求正根」過度概括，作為一種解題方法其處理的是實際問題中的可取值，不宜說成天元術理論上只求正根；此表述與前文『可解高次方程』的泛稱並不嚴謹。 → 正確：『天元術在解根時只求正根』屬過度概括；較恰當的說法應是它主要處理實際問題中的可取值，不能簡單說成理論上只求正根。
• 2026-05-04 確認錯誤：「朱世傑在《四元玉鑒》中更將天元術推廣至四元（即四個未知數）情形，創立了四元術」表述不準確；《四元玉鑒》主要是四元高次方程組方法，不等同於把天元術簡單推廣成四個未知數的同一套方法。 → 正確：朱世傑在《四元玉鑒》中發展的是四元高次方程組方法，不能簡化為把天元術直接推廣為四個未知數的同一套方法。