天元術

天元術

概述

天元術是中國古代數學中的一項重要代數學方法，是建立高次方程的系統性技術。「天元」相當於現代數學中的未知數 $x$，「立天元一為某某」即相當於現代數學中的「設某某為 $x$」。此方法運用特定的文字符號表示方程的正次冪與負次冪，透過多項式運算將實際問題轉化為可解的方程。天元術的出現使中國古代數學得以處理複雜的高次方程問題，在數學史上具有里程碑意義。

天元術的核心概念

天元術的基本原理是先根據問題設置未知數，列出兩個相等的多項式，再進行多項式運算，最終列出有待求解的方程。其核心思想是將實際應用問題轉化為代數方程來求解。

天元術中，「元」字標記在一次項係數旁，常數項旁則記「太」字。方程的排列方式依「天元在上」或「天元在下」而有所不同：

《測圓海鏡》式（天元在上）：「元」字以上的係數表示各正次冪，「元」以下的係數表示常數項及各負次冪。例如方程 $-x^2 - 680x + 96000 = 0$ 可表示為以「元」為中心的算籌排列。

《益古演段》式（天元在下）：「元」以下的係數表示各正次冪，「元」以上的係數表示常數項及各負次冪。例如方程 $3x^2 + 210x - 20325 = 0$，其中「太」代表常數項，算籌打斜線表示該項為負數。

天元術與阿拉伯代數之比較

天元術與阿拉伯代數虽功用相似，但方法迥異。天元術能求解高次方程，而阿拉伯代數僅能處理一次與二次方程。此外，天元術在解根時只求正根，阿拉伯代數解二次方程則可得二根。兩種體系各自獨立發展，代表了東西方數學的不同路徑。

相關典籍

典籍	作者	時代	主要貢獻
《益古集》	蔣周	北宋	最早創立天元概念（原書已佚）
《測圓海鏡》	李冶	金代	系統使用天元在上式天元術
《益古演段》	李冶	金代	改用天元在下式天元術
《算學啟蒙》	朱世傑	元代	介紹天元術基礎應用
《四元玉鑒》	朱世傑	元代	發展多元高次方程的天元術

文化影響

天元術的發展對中國數學影響深遠，它標誌著中國古代數學從幾何問題求解向代數方程求解的轉變，為後世高次方程數值解法的發展奠定了基礎。朱世傑在《四元玉鑒》中更將天元術推廣至四元（即四個未知數）情形，創立了四元術，進一步拓展了高次方程組的求解能力。

天元術的記數方式與符號系統反映了中國古代數學的獨特思维方式，其「立天元」的方法論對理解中國傳統數學的邏輯結構具有重要價值。儘管原創著作多已散佚，李冶與朱世傑的留存作品仍為後世研究天元術提供了珍貴的第一手資料。

來源

• 吳文俊主編《中國數學史大系》第六卷，第三編第三節《解高次方程》，186-193頁
• 吳文俊主編《中國數學史大系》第六卷，35-43頁
• 朱世傑原著，李兆華校正《四元玉鑒》，148頁，科學出版社，2007，ISBN 978-7-03-020112-6
• 錢寶琮《金元之際數學之發展》，《李儼·錢寶琮科學史全集》卷9，340頁