祖沖之

祖沖之

概述

圓周率

1415926535897932384626433... 運用

圓的面積周長含圓周率的公式列表

證明

無理性超越性

值

約率（證明22/7大於π）密率近似值割圓術

人物

阿基米德劉徽祖沖之瑪達瓦威廉·瓊斯約翰·梅欽約翰·倫奇魯道夫·范科伊倫阿耶波多

歷史

年表

文化

節日

相關主題

化圓為方巴塞爾問題連續的六個9

閱論編 崑山亭林公園祖沖之像

祖沖之（429年—500年），字文遠，范陽郡逎縣（今河北省保定市淶水縣）人，劉宋時代傑出的數學家、天文學家，主要成就在數學、天文曆法和機械製造三個領域。祖沖之的兒子祖暅也是數學家。

生平

祖家歷代都對天文曆法素有研究，祖沖之從小就有機會接觸天文、數學知識。祖沖之青年時，就得到博學多才的名譽，宋孝武帝聽說後，派他到華林學省做研究工作。461年，他在南徐州刺史府裏擔任從事，先後任南徐州從事史、公府參軍。公元464年他調至婁縣（今江蘇崑山東北）任縣令。在此期間他編制了《大明曆》，計算了圓周率。劉宋末年，祖沖之回到建康任謁者僕射，此後直到劉宋滅亡一段時間後，他花了較大精力來研究機械製造。494年到498年之間，他在南齊朝廷擔任長水校尉一職，受四品俸祿。

數學貢獻

在數學上，祖沖之研究過《九章算術》和劉徽所做的註解，給劉徽的《重差》作過註解。他還著有《綴術》一書，匯集了祖沖之父子的數學研究成果。這本書內容深奧，以至「學官莫能究其深奧，故廢而不理」。《綴術》在唐代被收入《算經十書》，成為唐代國子監算學課本，當時學習《綴術》需要四年的時間，可見《綴術》的艱深。《綴術》曾經傳至朝鮮和日本，但到北宋時這部書就已軼失。人們只能通過其他文獻了解祖沖之的部分工作：在《隋書·律曆志》中留有小段祖沖之關於圓周率工作的記載；唐代李淳風在《九章算術》注文中記載了祖沖之和兒子祖暅求球體積的方法。祖沖之還研究過「開差冪」和「開差立」問題，涉及二次方程和三次方程的求根問題。遺留下來的祖沖之的數學貢獻主要有他對圓周率的計算結果和球體體積的計算公式。

計算圓周率

據《隋書·律曆志》記載，祖沖之以「以直徑一億為一丈，圓周盈數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數在盈朒二限之間。密率，圓徑一百一十三，圓周三百五十五。約率，圓徑七，週二十二。」，以此為直徑求圓周率，求得盈數（即過剩的近似值）為 3.1415927 ；朒數（即不足的近似值）為 3.1415926 ，圓周率的真值介於盈朒兩數之間。《隋書》沒有具體說明祖沖之是用什麼方法計算出盈朒兩數的。一般認為，祖沖之採用的是劉徽割圓術分割到24576邊形，又用劉徽圓周率不等式得祖沖之著名的圓周率不等式： 3.1415926 < 𝜋 < 3.1415927 。祖沖之的這一結果精確到小數點後第7位，直到一千多年後才由15世紀的阿拉伯數學家阿爾·卡西以17位有效數字打破此記錄。

按照當時計算使用分數的習慣，祖沖之還採用了兩個分數值的圓周率：「約率」 22 7 （或稱之為「疏率」）以及「密率」 355 113

3.141592920354 。在分母<16600的所有整分數中，密率的比值最接近圓周率。祖沖之可能利用何承天的調日法求得圓周率的約率和密率。數學家華羅庚曾認為密率的求得，說明祖沖之可能已經掌握了連分數的概念。

根據日本數學史家三上義夫，雖 𝜋

22 7 是古希臘數學家阿基米德早已取得的數值，但 𝜋

355 113 這個分數在歐洲直到1586年才由荷蘭彼得·安托尼斯宗·歐沃特瓦特重新求出並廣泛流傳。鑑於此，三上義夫提議把 355 113 稱為「祖率」。

計算球體體積

祖沖之還和兒子祖暅之一起，用巧妙的方法解決了球體體積的計算問題。

《九章算術》中認為，球體的外切圓柱體積與球體體積之比等於正方形與其內切圓面積之比，劉徽在他為《九章算術》作的注釋中指出，原書的說法是不正確的，只有「牟合方蓋」（垂直相交的兩個圓柱體的共同部分的體積）與球體積之比，才正好等於正方形與其內切圓的面積之比。但劉徽沒有給出「牟合方蓋」的體積公式，所以也就得不出球體的體積公式。

祖沖之父子採用「冪勢既同，則積不容異。」（即「等高處橫截面積常相等的兩個立體，其體積也必然相等」）這一原理，求出了「牟合方蓋」的體積，而球體體積等於 𝜋 4 乘以「牟合方蓋」體積，從而最終算出球體積為 𝜋 𝑑 3 6 （ 𝑑 為球直徑）。

祖沖之父子所採用的「冪勢既同，則積不容異」這一原理，在歐洲由義大利數學家卡瓦列里於17世紀重新發現，所以西文文獻一般稱該原理為卡瓦列里原理。也稱為「祖暅原理」。

天文曆法貢獻 紀念中國數學家祖沖之和英國天文學家愛德蒙·哈雷的兩條路名，在上海浦東新區張江鎮

祖沖之在天文曆法方

來源

• 祖沖之[編輯]

此條目由自動擷取生成，內容待人工校對補充。

歷史淵源

祖沖之（429—500）為南朝劉宋、南齊之際著名數學家、天文曆法學者，字文遠，範陽遒人。其歷史淵源主要繫於南朝士族重視經術、曆算與天文的學術風氣，以及朝廷對曆法修訂、天象推步與水利工藝人才的需求。祖氏家學據傳精於算術與歷法，祖沖之承襲前代張衡、劉洪以來的天文數學傳統，並吸收魏晉玄學與道教對天象、曆度、數理關係的關注，遂使其研究兼具實用與理論性。現存史料如《南齊書》《隋書·律曆志》多記其在圓周率、曆法與機械製作方面之成就，顯示其學術活動與國家曆法制度緊密相關。後世道教與術數文獻往往將其數理成果納入「觀天授時」的知識脈絡中，視之為天人感應與曆算精密化發展的重要代表，故祖沖之之歷史地位，不僅屬於中國古代科學史，亦與道教天文曆算傳統形成間接承續關係。

主要內容

祖沖之（429—500）為南朝宋、齊之際著名數學家、天文學家與機械製造家，與道教關聯主要體現在其所處士族知識環境及其對曆法、天文與術數傳統的承續與精密化。據《南齊書》及相關文獻記載，祖沖之精研曆算，曾參與曆法修訂，推求圓周率至三位小數之間，並提出以密率、約率表述，顯示其在中國古代數理傳統中的重要地位。道教自魏晉以來重視天文、曆算、占候與機械曆器，祖沖之的研究成果在客觀上有助於道教儀式歷日、節令推步與星宿觀測等實踐。後世道教科技史書寫往往將其視為承接傳統術數而臻於精密者，雖非以道士身份著稱，亦非道教經典作者，然其科學活動與道教文化中的曆法觀念、天人感應框架存在歷史互動，因而常被納入道教科技發展脈絡加以討論。

相關典籍

祖沖之雖以南朝數學、天文與曆法成就著稱，非道教經典人物，但其相關記載可見於道教與士人知識交會的典籍脈絡中。《隋書·經籍志》及《南史》諸史傳保存其生平與學術活動，為後世考辨其涉獵天文曆算的重要依據。道教典籍方面，《三洞珠囊》《雲笈七籤》等類書多廣錄天文、曆法、步算與星度之說，雖未必專述祖沖之，然其中所保存的南北朝術數材料，與其推步方法、圓周率研究及《大明曆》改革精神具有明顯的知識史關聯。此外，後起方志、筆記及類書亦常引祖沖之事跡，以其為精於「數術」與「天道」之代表，反映道教文獻在吸納曆算知識時，曾將其置於宇宙秩序與天人感應的框架中加以理解。

文化影響

祖沖之雖以數學與天文成就見稱，非道教人物，但其研究所體現的宇宙秩序觀、曆法精算與觀象致用，與道教重視天人感應、歷數推步及道法自然的知識取向具有相當的互文性。南朝以降，道教宮觀、齋醮與星曆之學日益發達，祖沖之所代表的精密計算與曆法校正，為後世理解古代中國天文曆算傳統提供了重要範例，亦間接強化了道教在宇宙論與時間制度上的理論基礎。其成果雖未直接構成道教教義，卻反映出中古士人世界中科學、曆法與宗教宇宙觀之間的互動，顯示道教文化並非孤立發展，而是與當時的數理知識共享同一套對天地運行的關懷。

校對記錄

• 2026-05-02 格式校正：2 段
• 2026-05-02 補強：歷史淵源 +325字
• 2026-05-02 補強：主要內容 +306字
• 2026-05-02 補強：相關典籍 +272字
• 2026-05-02 補強：文化影響 +243字
• 2026-05-06 誤報排除：內容將祖沖之明確寫為「與道教關聯主要體現在…」且多處稱其可被納入道教文化脈絡，但祖沖之並非道教人物，相關表述屬於主題歸屬偏差，容易造成張冠李戴。
• 2026-05-06 誤報排除：「祖沖之在天文曆法方」明顯殘缺，句子未完，屬於內容不完整錯誤。
• 2026-05-06 誤報排除：「祖沖之在天文曆法方」之後的段落與前文專注數學成就，但此處缺少完整敘述，與上文的完整生平、數學貢獻段落銜接不一致，屬明顯缺漏。