餘弦定理

餘弦定理

餘弦定理是三角學中的基本定理，用於說明三角形三邊長度與其中任一內角餘弦之間的關係。公式為c² = a² + b² - 2ab·cos(C)，其中a、b、c分別代表三條邊，C為a與b所夾的內角。此定理可視為正弦定理的延伸，當C=90°時，cos(C)=0，公式即化為著名的畢氏定理。

推導與證明

在向量表示法中，將兩邊視為向量的起點，利用向量的點積可得到c² = a² + b² - 2ab·cos(C)。此推導方式簡潔且便於擴展至餘弦函數的恆等式。

實際應用

• 測量：利用測距儀測得兩邊長度及夾角，可快速求出第三邊。
• 物理學：在力的分解與運動向量計算中，常借助餘弦定理求分力大小。
• 工程設計：橋梁與建築結構的角度計算亦依賴此公式確保穩定性。

參見

餘弦定理與正弦定理、畢氏定理同為三角學的核心工具，亦可參考幾何學相關教材。