哈密頓函數

哈密頓函數

哈密頓函數（Hamiltonian）是經典力學中描述系統總能量的核心函數，通常以廣義座標與廣義動量為自變數。其形式為 H(q,p,t)=p_i·q̇_i - L(q,ġ,t)，即透過拉格朗日力學的勒讓德轉換得到。

在哈密頓力學框架下，哈密頓函數透過哈密頓方程（亦稱正則方程）給出運動方程：

• q̇_i = ∂H/∂p_i
• ṗ_i = -∂H/∂q_i 這些方程保證了相空間的結構，並可用於求解如諧振子、中央力場等典型系統。

在量子力學中，哈密頓函數被提升為哈密頓算符 Ĥ，作用於波函數以產生能量本徵值與能級。Ĥ 決定系統的時間演化，即薛丁格方程 iħ∂Ψ/∂t = Ĥ Ψ。

因此，哈密頓函數不僅是能量表象的橋梁，也是連接古典與量子描述的關鍵橋樑。